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Einführung in Geschichte und Philosophie der Mathematik

Willkommen zur Vorlesung Geschichte und Philosophie der Mathematik an der Pädagogischen Hochschule Vorarlberg. Diese Vorlesung ist gegen Ende des Mathematikstudiums angesiedelt. Ziel ist es, das Gelernte historisch und philosophisch zu betrachten und uns Gedanken darüber zu machen, was Mathematik ist.

Ein weiteres Ziel ist es, die Verbindung zwischen akademischer Mathematik und Schulmathematik zu verbessern.

Vorlesungsplan und Prüfung

Die Teilnahme an der Vorlesung ist nicht erforderlich. Die Vorlesung findet normalerweise vor Ort an der Pädagogischen Hochschule Vorarlberg statt, aber es wird versucht, die Veranstaltung auch für Personen zu übertragen, die nicht anwesend sein können.

Für die Vorlesungsprüfung sollten Sie sich ein Thema aussuchen, das Sie vertiefen, es wird erwartet, dass Sie sich ein bisschen mehr mit dem Thema auseinandersetzen, als was in der Vorlesung präsentiert wird. Bei der mündlichen Prüfung wird einerseits dieses Thema besprochen, andererseits wird ein Gespräch über andere Themen der Vorlesung stattfinden. Es wird erwartet, dass Sie sich mit den Vorlesungsfolien und Materialien vertraut machen.

Lehrplan und Ziele des Mathematikunterrichts

Im Bildungsbereich Natur und Technik sollen Wertvorstellungen und ethische Fragen behandelt werden, auch im Mathematikunterricht.

Mathematik soll als Tätigkeitsbereich erlebt werden, wobei das Weiterentwickeln von Modellen, Nutzen, Begriffsbildung, Argumentieren, kritisches Denken, heuristische Methoden zur Problemlösung und der Technologieeinsatz wichtige Punkte sind.

Der Mathematikunterricht soll dazu beitragen, Erscheinungen der Welt fachbezogen wahrzunehmen und zu verstehen, Probleme zu lösen und rationale Denkweisen zu entwickeln.

Im Bereich Sprache und Kommunikation geht es um Präzision, Definitionen und formale Fachsprache.

Bei Mensch und Gesellschaft spielen Kreativität und die Gestaltung verschiedener Lösungswege eine Rolle, ebenso wie heuristische Strategien.

Die historische Betrachtung im Lehrplan sieht vor, dass Schüler Einblick in die Entwicklung mathematischer Begriffe erhalten, einige Persönlichkeiten der Geschichte kennenlernen und Mathematik als dynamische Wissenschaft und ihre Bedeutung für die Entwicklung der abendländischen Kultur dargestellt wird.

Griechisches Erbe und der Begriff „Mathematik“

Die griechische Antike prägt maßgeblich, wie Mathematik heute behandelt wird.

Bei den Griechen wurden die Grundlagen der sieben freien Künste gelegt, die im Mittelalter eine bedeutende Rolle spielten. Das sogenannte Quadrivium umfasste Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie – diese vier Bereiche galten als die Arten von Mathematik. Später kam das Trivium hinzu, bestehend aus Grammatik, Dialektik und Rhetorik, wodurch sich die sieben freien Künste zusammensetzten.

Das griechische Wort „Mathematik“ (μάθημα) hat ursprünglich mit Lernen zu tun, mit dem, was man lernen muss.

Heron von Alexandria sagte, dass man das, was Mathematik genannt wird, nicht verstehen kann, ohne es vorher studiert zu haben. Dies unterscheidet Mathematik von Dichtung oder Musik, die man auch ohne vorheriges Studium genießen kann.

Themen der Vorlesung

Die Vorlesung behandelt folgende Fragen:

• Wie ist die Mathematik zu dem geworden, was sie ist? (Geschichte der Mathematik)
• Was ist eigentlich die Mathematik? (Philosophie der Mathematik)
• Was hat Mathematik mit uns zu tun? (Verbindung von Geschichte, Philosophie und Gesellschaft)

Insbesondere werden auch ethische und ästhetische Fragen behandelt.

Mathematik kann schön sein, und in der Kunst findet sich viel Mathematik, wie zum Beispiel bei den Alten griechischen Statuen, wo der goldene Schnitt so oft zur Geltung kommt.

Frühgeschichtliche Zeugnisse mathematischen Denkens

Über die Geschichte der Mathematik im engeren Sinne kann man erst sprechen, wenn schriftliche Aufzeichnungen vorliegen. Es gibt jedoch Hinweise darauf, dass mathematisches Denken und Zählen bereits in prähistorischer Zeit existierten.

Ein frühes Objekt, das auf Zählaktivitäten hinweist, ist der Wolfsknochen aus Dolní Věstonice, auf dem Einkerbungen gefunden wurden. Solche Striche werden oft mit Zählen in Verbindung gebracht, ähnlich wie Strichlisten, die bis heute verwendet werden. Es ist jedoch wahrscheinlicher, dass dieser Knochen als Zählhilfe diente, wobei man mit dem Finger die Kerben abfuhr, anstatt die Striche direkt beim Zählen zu erzeugen. Solche Zählmarkierungen wurden wahrscheinlich eher in weicheren Materialien wie Holz angebracht, die nicht erhalten geblieben sind. Der Wolfsknochen wurde in Tschechien, nahe der österreichischen Grenze, gefunden, einem Ort, an dem auch andere interessante Funde gemacht wurden. Der Knochen ist etwa 25.000 bis 30.000 Jahre alt, und die Zahlen 25 und 30 sind in zwei Gruppen von Einkerbungen sichtbar.

Ein weiterer bedeutender Fund ist der Ishango-Knochen aus Afrika, der Einkerbungen in verschiedenen Gruppierungen aufweist. Diese Gruppierungen enthalten viele Primzahlen (z.B., 7, 3, 5, 11, 13), was zu Spekulationen über die Verwendung des Knochens geführt hat. Mögliche Interpretationen sind arithmetische Spielzeuge, ein Mondkalender oder eine Rechenstab, aber keine der Interpretationen ist eindeutig belegt.

Ein jüngeres Beispiel ist ein 10.000 Jahre alter Rentierknochen aus Florida, der 28 Striche aufweist. Die Zahl 28 steht in enger Verbindung mit dem Mondmonat, daher ist es möglich, dass dieser Knochen von Jägern verwendet wurde. Der Mondmonat ist für Jäger wichtig, da das Verhalten der Tiere oft stark mit den Mondphasen zusammenhängt.

Die Rolle der Hand beim Zählen und Zahlensystemen

Beim Zählen spielt die Hand eine prominente Rolle. Viele Wörter für Ziffern oder Zahlen hängen etymologisch mit Fingern oder Zählen zusammen, wie z.B. „digit“ im Englischen oder „digitus“ im Lateinischen. Schon sehr früh wurden nicht nur Tiermalereien, sondern auch Handmalereien gefunden, was die Faszination und Beschäftigung des Menschen mit der Hand verdeutlicht. Solche Handmalereien wurden weltweit gefunden, was darauf hindeutet, dass Zahlen ein wesentliches menschliches Kulturgut sind.

Universalität und kulturelle Unterschiede im Umgang mit Zahlen

Die Frage, ob Zahlen etwas Universelles für den Menschen sind, ist komplex. Einerseits wurde bei dem Versuch, mit Außerirdischen zu kommunizieren, überlegt, etwas mit Zahlen (z.B., Ziffern von Pi) zu verwenden. Andererseits gibt es Kulturen, die keinen Zahlbegriff oder keine klaren Vorstellungen von größeren Verhältnissen haben. Ein Beispiel ist ein kleines Volk im Amazonasgebiet, das weder Zahlwörter noch Zahlvorstellungen besitzt und auch keine Begriffe für Privateigentum hat. Die Hypothese, dass die Sprache unser Denken prägt, spielt hier eine Rolle: Was wir nicht in unserer Sprache benennen können, können wir uns auch schwer vorstellen.

Geometrische Kunst in der Frühgeschichte

Neben dem Zählen findet sich auch geometrische Kunst in alten Kulturen. Im Nahen Osten und in Mesopotamien (dem heutigen Irak, Syrien, der Türkei) wurden viele Funde mit geometrischen Mustern gemacht. Die frühesten Artefakte weisen bereits abstrakte geometrische Kunst und Musterbildungen auf, die für die Mathematik prägend sind. Diese geometrischen Objekte, mit denen sich die Mathematik beschäftigt, sind also schon frühzeitig vorhanden und hatten teilweise auch religiöse Bedeutungen.

Ursprünge der Schrift und ihre Verbindung zur Mathematik

Die Ursprünge der Schrift sind eng mit mathematischen Tätigkeiten verbunden. Ab etwa 8000 v. Chr. wurden im Nahen Osten regelmäßig sogenannte Zählsteine gefunden. Diese Zählsteine wurden Händlern mitgegeben, um die Menge der transportierten Handelsgüter zu dokumentieren. Unterschiedlich geformte Steine standen für unterschiedliche Güter, und die Anzahl der Steine entsprach der Anzahl der mitgelieferten Einheiten. Um Manipulationen zu verhindern, wurden diese Steine in Tonbehälter getan, die versiegelt und mit dem Stempel des Königs versehen wurden. Später begann man, die Anzahl der Steine auch auf die Außenseite der Behälter zu drücken, bis man schließlich dazu überging, nur noch die Eindrücke auf den Behältern zu hinterlassen, ohne die Steine selbst mitzugeben. So entstanden die ersten Zahlzeichen. Schließlich wurden diese Zeichen auch für die Wörter verwendet, die mit den Objekten verbunden waren, und so entstand die Schrift. Die ersten Texte, die geschrieben wurden, waren Wirtschaftstexte für Buchführung und Vermessung. Es handelte sich um eine Wortschrift, bei der jedes Symbol für ein ganzes Wort stand.

Vorgriechische Mathematik: Mesopotamien und Ägypten

Die Entwicklung der Zahlen und der Mathematik hängt stark mit Technik und Wirtschaft zusammen. Die Spezialisierung der Gesellschaft, das Leben in Großstädten und die Einführung unterschiedlicher Berufe führten zu einer höheren Organisation, die durch Verwaltung dokumentiert werden musste. Wichtige Faktoren waren große Bauprojekte wie Bewässerungsanlagen und Pyramiden, Landvermessung, Schätzung der Ernteerträge, Bezahlung der Arbeiter und Besteuerung der Felder.

In diesem Zusammenhang spielte der Beruf des Schreibers eine wichtige Rolle. Da die Schrift sehr komplex war, konnten nur ausgewählte Personen schreiben. In Mesopotamien war dies teilweise eine Art Familientradition. Schreiber wurden in schulähnlichen Gebäuden unterrichtet, und es gab Lehrtexte mit Lehraufgaben. Interessanterweise waren die Lehraufgaben oft realitätsfremd und mit übertrieben hohen Zahlen konstruiert, um Methoden zu üben. Der allgemeinbildende Charakter des Mathematikunterrichts spielte also von Anfang an eine Rolle. In Mesopotamien gab es sowohl Männer als auch Frauen, die den Beruf des Schreibers ausübten.

Von Anfang an war es wichtig, Bildung mit Unterhaltung zu verbinden. Ein Beispiel dafür ist eine Aufgabe, die Katzen und Mäusen behandelt. Auch magische Quadrate tauchten früh auf und verbanden das Spielerische mit dem Religiös-Magischen.

Mathematik und ihre Beziehung zu Astronomie, Astrologie und Kalenderwesen

Die Beziehung von Mathematik zur Astronomie, Astrologie und zum Kalenderwesen ist ebenfalls hervorzuheben. Die Zyklen von Sonne, Mond und Sternen sowie die Jahreszeiten bildeten die Grundlage für Kalender. In nomadischen Gesellschaften spielte der Mond eine wichtige Rolle, während in landwirtschaftlichen Gesellschaften die Sonne wichtiger war. Die Ägypter versuchten, einen 19-jährigen Lunisolarkalender zu entwickeln, um Sonne und Mond miteinander zu verbinden, was bis heute für die Bestimmung von Ostern relevant ist. Von den Babyloniern stammt die Einteilung des Kreises in 360 Grad und die 12 Tierkreiszeichen, die wir bis heute in der Astrologie verwenden. Gestirne wurden in der Astrologie mit Göttern in Verbindung gebracht, um Voraussagen zu treffen. Astronomie und Mathematik waren eng miteinander verbunden.

Philosophische und religiöse Bedeutung von Zahlen

Zahlen dienten nicht nur zum Zählen, sondern auch zur Erklärung von Erscheinungen, als Führer des Göttlichen und zur Beschreibung des himmlischen Lebens. In Babylonien entsprach jeder Gottheit eine Zahl zum Beispiel der Himmelgott Anu war 60, oder der Mondgott Sin 30, usw. Meistens war es so dass der Wert der Zahl die Mächtigkeit des Gottheits wiederspiegelte.

In alten Erzählungen finden sich oft fantastische Übertreibungen von Altersangaben und Angaben über Gefangene oder Erschlagene. Auch die religiöse Verwendung geometrischer Symbole spielte eine wichtige Rolle.

Die Zahl Sieben als Beispiel

Ein Beispiel für die symbolische Verwendung von Zahlen ist die Zahl Sieben. Analog zu den sieben Planeten gab es in der babylonischen Kultur zahlreiche Konzepte, die mit der Zahl Sieben verbunden waren, wie z.B. sieben Weltteile, sieben Weise, sieben Flüsse, sieben Himmel und sieben kosmische Türme. Auch in anderen Kulturen finden sich Bezüge zur Zahl Sieben, wie z.B. in der Erzählung von der Sintflut, in der das Wasser sieben Tage lang steigt. Bestimmte mit der Zahl Sieben zusammenhängende Tage galten als Unglückstage.

Das Pentagramm als Symbol

Ein weiteres wichtiges geometrisches Symbol ist das Pentagramm, das in der Geschichte immer wieder eine religiöse Rolle spielte. Dieses Symbol wurde erstmals um 3000 v. Chr. gefunden und hatte wahrscheinlich eine Bedeutung im Zusammenhang mit Gottheiten oder Vollkommenheit. Für Pythagoras war das Pentagramm ein Zeichen der Gesundheit, und die Pythagoräer unterstützten geometrische Untersuchungen. Das Pentagramm wurde also in verschiedenen Kontexten unterschiedlich interpretiert.

Zusammenfassung

Mathematik war von Anfang an in allen Bereichen des Lebens präsent und diente nicht nur der Verwaltung, sondern auch der Erklärung von Erscheinungen der Welt sowie religiösen und mystischen Fragestellungen.

Die Vorlesung wird sich später hauptsächlich mit Lehrmaterialien und Unterrichtsmaterialien beschäftigen. Es wurde jedoch festgestellt, dass mathematische Tätigkeiten und Symbole bereits in vorgeschichtlicher Zeit existierten. Geometrische Kunst und Zahlen spielten von Anfang an eine wichtige Rolle in der menschlichen Kultur, sowohl im wirtschaftlichen als auch im religiös-mystischen Bereich. Verschiedene Zahlen hatten eine besondere Bedeutung und galten als heilig, wie z.B. die Zahlen Sieben, Drei und Zwölf, die bis heute in unserem Kulturkreis eine Rolle spielen. 

Literaturhinweise

Thema: Ursprung des Begriffs „Mathematik“ (μάθημα), Sieben freie Künste (Quadrivium und Trivium).

• Literaturvorschläge:
  • Thomas Heath: „A History of Greek Mathematics“ (Umfassendes Werk zur griechischen Mathematik)
  • G.E.R. Lloyd: „Early Greek Science: Thales to Aristotle“ (Bietet Einblick in die Entwicklung der Wissenschaft und Mathematik in der griechischen Antike)

Thema: Wolfsknochen aus Dolní Věstonice, Ishango-Knochen, Zählaktivitäten in prähistorischer Zeit.

• Literaturvorschläge:
  • Alexander Marshack: „The Roots of Civilization“ (Untersucht frühe Zählsysteme und symbolische Notation)
  • Claudia Zaslavsky: „Africa Counts: Number and Pattern in African Culture“ (Behandelt mathematische Praktiken in Afrika, einschließlich des Ishango-Knochens)
  • Caleb Everett: „Numbers and the Making of Us: Counting, Cognition, and Culture“ (Untersucht die Entwicklung des Zahlbegriffs und seine kulturelle Bedeutung, oft mit Bezug auf prähistorische Funde)

Thema: Etymologie von Zahlwörtern, Ursprung von Zahlensystemen.

• Literaturvorschläge:
  • Georges Ifrah: „The Universal History of Numbers“ (Umfassende Geschichte der Zahlensysteme)
  • Karl Menninger: „Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers“ (Behandelt die kulturelle Entwicklung von Zahlwörtern)

Thema:  geometrische Kunst in der Frühgeschichte

• Literaturvorschläge:
  • André Leroi-Gourhan: „The Art of Prehistoric Man“ (Bietet einen umfassenden Überblick über prähistorische Kunst, einschließlich geometrischer Muster)
  • Henri Breuil: „Four Hundred Centuries of Cave Art“ (Klassisches Werk über Höhlenmalereien, oft mit geometrischen Elementen)
  • Ernst Gombrich: „The Story of Art“ (Enthält Kapitel über prähistorische Kunst und die Anfänge der geometrischen Muster)
  • John Onians: „Atlas of World Art“ (Visueller Überblick über Kunst aus verschiedenen Kulturen und Epochen, einschließlich prähistorischer geometrischer Kunst)

Thema: Zählsteine, Entwicklung der Schrift aus Buchhaltungspraktiken.

• Literaturvorschläge:
  • Denise Schmandt-Besserat: „How Writing Came About“ (Untersucht die Entwicklung der Schrift aus Zählsteinen)
  • Hans J. Nissen: „Archaic Bookkeeping“ (Behandelt frühe Buchhaltungspraktiken im alten Mesopotamien)

Thema: Babylonische und ägyptische Mathematik, Keilschrifttafeln, Papyrusrollen.

• Literaturvorschläge:
  • Otto Neugebauer: „The Exact Sciences in Antiquity“ (Klassisches Werk zur Mathematik in Mesopotamien und Ägypten)
  • Richard J. Gillings: „Mathematics in the Time of the Pharaohs“ (Fokus auf ägyptische Mathematik)
  • Eleanor Robson: „Mathematics in Ancient Iraq: A Social History“ (Untersucht die soziale Rolle der Mathematik in Mesopotamien)

Thema: Lunisolarkalender, babylonische Astronomie, Tierkreiszeichen.

• Literaturvorschläge:
  • O. Neugebauer: „Astronomical Cuneiform Texts“ (Sammlung und Analyse babylonischer astronomischer Texte)
  • John Steele: „A Brief Introduction to Ancient Astronomy“  (Bietet einen Überblick über die astronomischen Praktiken in verschiedenen alten Kulturen, einschließlich Mesopotamien und Ägypten, und ihre mathematischen Aspekte.)
  • Asger Aaboe: „Episodes from the Early History of Mathematics“  (Enthält Kapitel über babylonische Mathematik und Astronomie, einschließlich ihrer Methoden und Techniken.)