András Bátkai's Weblog

Heute möchte ich Sie mitnehmen auf eine Entdeckungsreise in ein unerwartetes Gebiet der Mathematikgeschichte – den Talmud. Der Talmud, ein zentrales Werk des rabbinischen Judentums, ist zwar primär eine Sammlung religiöser Gesetze, Diskussionen und Erzählungen, enthält aber auch verstreut viele interessante Bezüge zu mathematischen Konzepten und Anwendungen.

Was ist der Talmud?

Für ein besseres Verständnis unseres Themas, beginnen wir mit einer kurzen Einführung in den Talmud.

Definition: Der Talmud (תלמוד – „Belehrung, Studium“) ist die schriftliche Fixierung der mündlichen Überlieferung der jüdischen Gesetze und Auslegungen der Tora.

Struktur: Er besteht aus zwei Hauptbestandteilen:

• Die Mischna (משנה), eine Sammlung kanonischer jüdischer Gesetze, die in Palästina entstand.
• Die Gemara (גמרא), eine Sammlung von Diskussionen und Kommentaren zu diesen Gesetzen, die in Babylonien geführt und aufgezeichnet wurden.

Inhalt: Der Talmud behandelt ein breites Spektrum an Themen, von religiösen Ritualen und ethischen Fragen bis hin zu bürgerlichem Recht und Alltagsangelegenheiten, oft in Form eines Dialogs. 

Vor der Zerstörung des zweiten Tempels im Jahr 70 n. Chr. war Hillel einer der herausragendsten pharisäischen Rabbiner. Er stand dem Sanhedrin vor, dem obersten religiösen und politischen Gerichtshof des jüdischen Volkes, und etablierte eine bedeutende Schule, die sich mit der Auslegung der heiligen Schriften befasste. Wir lesen über ihm in Kapitel 2 “Schabbat”, 31a:

“Abermals ereignete es sich, daß ein Nichtjude vor Šammaj trat und zu ihm sprach: Mache mich zum Proselyten unter der Bedingung, daß du mich die ganze Tora lehrst, während ich auf einem Fuße stehe. Da stieß er ihn fort mit der Elle, die er in der Hand hatte. Darauf kam er zu Hillel und dieser machte ihn zum Proselyten und sprach zu ihm: Was dir nicht lieb ist, das tue auch deinem Nächsten nicht. Das ist die ganze Tora und alles andere ist nur die Erläuterung; geh und lerne sie.”

Schammai, ein bedeutender jüdischer Gelehrter des 1. Jahrhunderts und Zeitgenosse Hillels, war etwa 60 Jahre jünger als dieser. Im Unterschied zu Hillels milder Art, wurde Schammai in religiösen und ethischen Fragen als streng und impulsiv wahrgenommen. Als Leitspruch wird Schammai folgendes zugeschrieben (Pirkei Avot 1:15):

„Setze für dein Studium der Tora feste Stunden an; sage wenig, tu aber viel und empfange alle Menschen mit freundlichem Gesicht.“

Im Rahmen des Torastudiums im rabbinischen Judentum gibt es das Konzept von PaRDeS (פרדס), einem Akronym, das die verschiedenen Ebenen der Textinterpretation beschreibt. Jede Ebene repräsentiert eine tiefere Schicht des Verständnisses. Die vier Ebenen sind: Peshat (פשט) – die direkte, wörtliche Bedeutung des Textes; Remez (רמז) – die symbolische oder angedeutete Bedeutung; Derash (דרש) – die interpretative, oft vergleichende Auslegung; und Sod (סוד) – die mystische, esoterische Dimension. Es ist wichtig zu betonen, dass die jüdische Tradition empfiehlt, sich zuerst intensiv mit den drei „weltlichen“ Ebenen (Peshat, Remez, Derash) auseinanderzusetzen, bevor man in die „geheimen“ Tiefen von Sod eintaucht. PaRDeS bietet somit einen strukturierten Rahmen für die Exegese heiliger Texte, der sowohl die offensichtlichen als auch die verborgenen Bedeutungen berücksichtigt.

Mathematische Bezüge im Talmud

Es ist wichtig zu betonen, dass der Talmud kein systematisches Lehrbuch der Mathematik ist. Mathematische Bezüge treten vielmehr in Diskussionen über praktische Fragen auf, die sich aus der Anwendung religiöser Gesetze ergeben. Dennoch zeigen diese Bezüge, dass die Rabbinen mit mathematischen Konzepten vertraut waren und sie in ihrem Denken und ihren Diskussionen anwandten.

Lassen Sie uns nun einige konkrete Beispiele für mathematische Themen und Diskussionen im Talmud genauer betrachten. 

Es ist wichtig zu betonen, dass der Talmud kein systematisches Lehrbuch der Mathematik ist. Mathematische Bezüge treten vielmehr in Diskussionen über praktische Fragen auf, die sich aus der Anwendung religiöser Gesetze ergeben.

Dennoch zeigen diese Bezüge, dass die Rabbinen mit mathematischen Konzepten vertraut waren und sie in ihrem Denken und ihren Diskussionen anwandten.

Typischerweise werden folgende Themen, wenn es um die Mathematik im Talmud geht, angesprochen: Zahlenmystik(1), Mathematikgeschichtliche Hinweise (2,3), sowie moderne mathematische Überlegungen, um einzelne Regelungen zu erklären (4,5).

Beispiele für Mathematik im Talmud

Lassen Sie uns nun einige konkrete Beispiele für mathematische Themen und Diskussionen im Talmud genauer betrachten.

1. Gematria

Gematria ist ein System, bei dem hebräischen Buchstaben Zahlenwerte zugewiesen werden. Der Talmud verwendet Gematria zur Interpretation von Wörtern und Phrasen.

Beispiel: Die Folie zeigt, wie die Wörter „Sod“ (Geheimnis) und „Weisheit“ durch Gematria in Zahlenwerte umgewandelt werden.

• Sod (סוד) = Dalet (4) + Vav (6) + Samekh (60) = 70
• Weisheit (חכמה) = He (5) + Mem (40) + Kaf (20) + Chet (8) = 73

Wenn man jetzt zu 70=Geheimnis die 3 weltlichen Ebenen der Toraauslegung dazunimmt, erhält man 73=Weisheit.

2. Quadratwurzeln

Die Mischna erwähnt die Berechnung der Seitenlänge eines Quadrats mit einer gegebenen Fläche.

• Für ein Quadrat mit einer Fläche von 5000 Quadratellen gibt die Mischna eine Seitenlänge von „70 Ellen und Etwas“ an.
• Dieses „Etwas“ wird näherungsweise mit 2/3 Elle angegeben.

Der Talmud diskutiert die Ungenauigkeit dieses Wertes und stellt fest, dass 70 2/3 Ellen etwas zu klein ist, wobei die genaue Differenz nicht bestimmt wird.

Mathematische Analyse:

• Der exakte Wert der Seitenlänge eines Quadrats mit Fläche 5000 ist √5000 = 70.71068… Ellen.
• Der im Talmud genannte Wert von 70 2/3 Ellen ist also eine Näherung.

3. Kreis und geometrische Formen

Der Talmud enthält Diskussionen über die Beziehung zwischen Kreis und Quadrat, insbesondere im Hinblick auf Flächeninhalte.

Einige wichtige Aussagen sind (zwerstäut in Eruvin 76b):

• “das Quadrat ist ja um ein Viertel größer als der Kreis” 
• “eine Elle des Quadrates hat ja eine Elle und zwei Fünftel in der Diagonale”
• „Der Kreis im Quadrat ist ein Viertel, das Quadrat im Kreise ist die Hälfte.“
• „Die Fläche des Kreises ist drei Viertel der Fläche des ihm umschriebenen Quadrats.“
• „Das Quadrat ist um ein Viertel größer als der Kreis.“

Diese Aussagen beziehen sich auf das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und der ihm ein- und umschriebenen Quadrate. Wenn ein Quadrat einem Kreise umschrieben, ein anderes demselben einbeschrieben ist, so ist der Flächeninhalt des Kreises um den vierten Theil des Flächeninhalts des umschriebenen Quadrats kleiner als der Flächeninhalt dieses umschriebenen Quadrats, und der Flächeninhalt des einbeschriebenen Quadrats um die Hälfte des Flächeninhalts des umschriebenen Quadrats kleiner als der Flächeninhalt dieses umschriebenen Quadrats. Die Fläche des Kreises ist drei Viertel der Fläche des ihm umschriebenen Quadrats

Mathematische Analyse:

Sei s die Seitenlänge des umschriebenen Quadrats. Dann ist die Fläche des Quadrats s². Der Kreis hat dann den Radius r = s/2, und seine Fläche ist πr² = π(s/2)² = (π/4)s². Da π ≈ 3.14159, ist (π/4) ≈ 0.7854, was etwas kleiner als 3/4 (0.75) ist. Der Talmud verwendet den Näherungswert π ≈ 3, was zu der Aussage führt, dass die Kreisfläche 3/4 der Quadratfläche ist.

Der Talmud diskutiert (Eruvin 14a) auch das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser.

„Wenn der Balken zylinderförmig ist, so betrachtet man ihn, als wäre er viereckig; wenn er nämlich einen Umfang von drei Handbreiten hat, so ist er eine Hand breit.“

Dies impliziert ein Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser von 3:1 (π ≈ 3). Der Talmud hinterfragt die biblische Grundlage für diese Annahme, erkennt aber ihre praktische Anwendbarkeit im religiösen Kontext an.

“Was drei Handbreiten im Kreise hat, hat eine Handbreite im Durchmesser. Woher dies? R.Joḥanan erwiderte: Die Schrift sagt: Er fertigte das Meer, gegossen, von einem Rande bis zum anderen zehn Ellen weit, ringsum rund und fünf Ellen hoch; und eine Schnur von dreißig Ellen umspannte dasselbe ringsum. Die Dicke des Randes kommt ja noch hinzu!? R.Papa erwiderte: Vom Rande heißt es, daß er einem Lilienblatt glich,…”

Der tatsächliche Wert von π ist irrational und beträgt ungefähr 3.14159. Der Talmud verwendet hier eine grobe Näherung für praktische Zwecke.

4. Familienplanung

Der Talmud enthält eine Diskussion über die Pflicht zur Fortpflanzung in Yevamot 61b.

Die Schulen von Schammai und Hillel hatten unterschiedliche Ansichten darüber, wie viele Kinder man haben muss, um diese Pflicht zu erfüllen.

Niemand unterlasse die Fortpflanzung, es sei denn, dass er Kinder hat; die Schule Schammais sagt, zwei Männliche, und die Schule Hillels sagt, ein Männliches und ein Weibliches, denn es heißt: „Mann und Weib hat er sie geschaffen…“ (Genesis 5:2)

Wir folgen hier die wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen von Simon Blatt, Uta Freiberg & Vladimir Shikhman, um die erwartete Familiengröße unter den Annahmen beider Schulen zu berechnen.

Die Berechnung der erwarteten Familiengröße erfolgt durch die Summation einer unendlichen Reihe, wobei jeder Term das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Familiengröße und der Familiengröße selbst ist.

Die Annahme ist, dass die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen oder Mädchens jeweils 1/2 beträgt und die Geschlechter der Kinder unabhängige Ereignisse sind.

Die Berechnung für die erwartete Familiengröße nach der Annahme von Hillel ist:

Die Berechnung für die erwartete Familiengröße nach der Annahme von Schammai ist:

Die Ergebnisse zeigen, dass die erwartete Familiengröße nach Hillel 3 und nach Schammai 4 Kinder beträgt.

Betrachten wir die Konsequenzen für Mädchen in Bezug auf die Lehren von Hillel und Schammai. Nach Hillel wird die erwartete Anzahl von Mädchen berechnet, indem man die erwartete Familiengröße durch zwei teilt, was zu 3/2 führt. Bei Schammai ergibt sich die erwartete Anzahl von Mädchen, indem man die Anzahl der Jungen von der erwarteten Familiengröße subtrahiert, also 4 minus 2, was 2 ergibt.

5. Insolvenzrecht

Der Talmud behandelt auch Fragen des Insolvenzrechts, bei denen es um die gerechte Verteilung des Vermögens eines Schuldners unter seinen Gläubigern geht.

Ein Beispiel ist die Verteilung eines Vermögens E unter drei Gläubiger mit Forderungen d1=100, d2=200 und d3=300.

Der Talmud gibt hierzu spezifische Richtlinien für die Auszahlungen an die Gläubiger vor, die je nach Höhe des Schuldnervermögens variieren.

SchuldnerVermögen E	1. Gläubiger Auszahlung	2. Gläubiger Auszahlung	3. Gläubiger Auszahlung
100	33 ⅓	33 ⅓	33 ⅓
200	50	75	75
300	50	100	150

Bei einem geringen Schuldnervermögen werden die Auszahlungen gleichmäßig verteilt, während bei einem hohen Vermögen die Auszahlungen proportional zu den jeweiligen Forderungen erfolgen. Für mittlere Vermögenswerte schlägt Robert Aumann eine Lösung vor, die auf dem Prinzip der Halbierung basiert. Dieses Prinzip, das in Bava Metzia 2a diskutiert wird, besagt, dass bei einem Streit um einen Gegenstand, beispielsweise ein Stück Tuch, der Wert zwischen den Parteien aufgeteilt wird.

“Wenn zwei Menschen ins Gericht kommenund ein Stück Tuch mitgebracht haben, und einer, der erste, sagt: Ich habe es gefunden, und ein anderer, der zweite, sagt: Ich habe es gefunden;  … Wie soll das Gericht entscheiden? Wenn der erste sagt: Das ganze Tuch ist meins, und der zweite sagt: Dessen Hälfte ist meins, denn beide haben sich verständigt, dass die Hälfte einem der beiden gehört, dann streiten sie sich nur um die andere Hälfte. … Der erste nimmt drei Viertel und der zweite ein Viertel des Tuches.”

Angewendet auf das Insolvenzrecht bedeutet dies, dass der Streitwert zwischen zwei Gläubigern halbiert wird, um die Auszahlung zu bestimmen. Im konkreten Beispiel führt dies dazu, dass der erste Gläubiger 50, der zweite 75 und der dritte ebenfalls 75 Einheiten erhält, basierend auf der Anwendung der Halbierung auf die jeweiligen Streitwerte zwischen den Gläubigern.

Der Talmud: Mehr als nur ein Gesetzbuch

Um den Kontext dieser mathematischen Bezüge besser zu verstehen, ist es wichtig, den Talmud selbst näher zu beleuchten.

Der Talmud als Quelle jüdischer Gelehrsamkeit: Der Talmud ist eine umfangreiche Sammlung von Diskussionen, Interpretationen und Entscheidungen jüdischer Gelehrter über einen Zeitraum von mehreren Jahrhunderten.

Religiöse, ethische und rechtliche Dimensionen: Er behandelt nicht nur religiöse Fragen, sondern auch ethische, soziale und rechtliche Aspekte des Lebens.

Dialogischer Charakter: Der Talmud ist kein monolithischer Text, sondern präsentiert oft verschiedene Meinungen und Argumente in Form eines Dialogs.

Der Talmud ist zwar kein mathematisches Werk im modernen Sinne, bietet aber faszinierende Einblicke in die Art und Weise, wie mathematische Konzepte im Kontext religiöser und rechtlicher Diskussionen angewendet wurden. Die Beispiele zeigen, dass die Rabbinen über ein beachtliches mathematisches Wissen verfügten und dieses zur Lösung praktischer Probleme einsetzten. Für Lehramtsstudierende der Mathematik bietet die Auseinandersetzung mit diesen Texten eine einzigartige Gelegenheit, die historische Entwicklung mathematischer Ideen in einem ungewöhnlichen Kontext zu erleben.

Literatur:

Blatt, S., Freiberg, U. & Shikhman, V. The Mathematics of Family Planning in the Talmud. Math Intelligencer (2024). https://doi.org/10.1007/s00283-024-10387-6

Zuckermann, B. (1878). Das Mathematische im Talmud: Beleuchtung und Erläuterung der Talmudstellen mathematischen Inhalts. FW Jungfer.

Loewy, A. (1935). Zur Mathematik in Bibel und Talmud. Monatsschrift für Geschichte und Wissenschaft des Judentums, (H. 3), 224-238.

Fink, E. (1903). Zur Geschichte der Zahl π. The Jewish Quarterly Review, 15(3), 522-525.

Vortrag an der PH Vorarlberg im WS24/25 für Lehramtsstudierende des Fachs Matheamtik im Verbund West.