András Bátkai's Weblog

heute möchte ich mit Ihnen über ein Thema sprechen, das auf den ersten Blick vielleicht nicht offensichtlich ist: die Verbindung zwischen Mathematik und Ethik. Während Mathematik oft als eine objektive und wertfreie Disziplin betrachtet wird, möchte ich Ihnen zeigen, dass ethische Überlegungen in verschiedenen Aspekten der Mathematik eine Rolle spielen, von der Art und Weise, wie wir Mathematik betreiben, bis hin zu den Anwendungen mathematischer Modelle.

1. Berufsethik in der Mathematik

Beginnen wir mit einigen grundlegenden ethischen Fragen, die sich innerhalb der mathematischen Gemeinschaft selbst stellen. Eigentlich sind diese Fragen nicht nur für die Fachmathematik wichtig, sondern allgemein für alle, die Wissenschaft betreiben.

• Plagiat: Wie in jeder wissenschaftlichen Disziplin ist Plagiat auch in der Mathematik ein schwerwiegendes Fehlverhalten. Die korrekte Zitierung von Quellen und die Anerkennung der Leistungen anderer Mathematiker sind unerlässlich für die Integrität der Forschung.
• Prioritätsstreitigkeiten: Die Frage, wem die Entdeckung eines mathematischen Satzes oder Konzepts zusteht, kann zu heftigen Auseinandersetzungen führen. Ein bekanntes Beispiel ist der Prioritätsstreit zwischen Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz um die Erfindung der Infinitesimalrechnung.
• Namensgebung: Die Konventionen der Namensgebung von mathematischen Objekten und Sätzen können ebenfalls ethische Implikationen haben.

• Stiglers Gesetz der Eponyme: Dieses humorvolle „Gesetz“ besagt, dass keine wissenschaftliche Entdeckung nach ihrem ursprünglichen Entdecker benannt ist. Dies verdeutlicht, wie komplex die Frage der Anerkennung von Leistungen sein kann. Berühmte Beispiele in der Mathematik sind die Gaußverteilung, die Fibonaccifolge, der Satz des Pythagoras.
• Die mangelnde Anerkennung von Beiträgen von Frauen und Minderheiten zur Mathematikgeschichte ist ein weiteres wichtiges ethisches Thema.

• Koautorschaft: Die Entscheidung, wer als Koautor eines mathematischen Papers genannt wird und in welcher Reihenfolge die Namen erscheinen, kann ebenfalls ethische Fragen aufwerfen, insbesondere im Hinblick auf den Beitrag der einzelnen Autoren.
• Geldgeber: Die Finanzierung der mathematischen Forschung kann ethische Fragen aufwerfen. Wer stellt die Mittel bereit, und welche potenziellen Interessenkonflikte könnten damit verbunden sein?

2. Gute und Schlechte Mathematik

Eine philosophischere Frage ist, was „gute“ und „schlechte“ Mathematik ausmacht. Wir werden dieses Thema später, wenn wir die Grundfragen der Philosophie der Mathematik behandeln, noch einmal aufgreifen. Hier soll nur kurz skizziert werden, dass die ethischen Fragen der Mathematik eng mit deren ontologischen Fragestellungen zusammenhängen.

• Kriterien für mathematische Qualität: Wer entscheidet, welche mathematischen Resultate als wichtig und bedeutend angesehen werden? Welche Kriterien werden für die Bewertung mathematischer Beweise und Theorien angelegt? Diese Fragen sind nicht immer einfach zu beantworten und können im Laufe der Zeit variieren.
• Mathematischer Beweis: Die Frage, was einen gültigen mathematischen Beweis ausmacht, ist selbst ein Thema philosophischer Debatten.
• Konstruktivismus: Eine Strömung in der Mathematik, der mathematische Konstruktivismus, vertritt beispielsweise die Ansicht, dass ein mathematischer Beweis die „konstruktive“ Existenz eines Objekts nachweisen muss, nicht nur dessen logische Möglichkeit.
• Einfluss von Ideologie: Die Geschichte der Mathematik ist nicht immer frei von ideologischen Einflüssen.
• Deutsche Mathematik: In der Zeit des Nationalsozialismus gab es Versuche, eine „deutsche Mathematik“ zu konstruieren, die angeblich im Gegensatz zur „jüdischen Mathematik“ stand. Diese Ideologisierung der Mathematik ist ein erschreckendes Beispiel dafür, wie wissenschaftliche Disziplinen missbraucht werden können.

3. Mathematisierung der Ethik

Ein weiteres interessantes, aber auch problematisches Feld ist der Versuch, die Ethik selbst zu mathematisieren. Dieser Wunsch ist uralt. Schon Platon legt diese Worte in dem Mund von Sokrates (Protagoras 356E-357A):

„Wie aber wenn das Heil unseres Lebens auf der Wahl gerader und ungerader Zahlen beruhte, von beiden wann es recht wäre das größere zu wählen, und wann das kleinere im Vergleich jeder Art mit sich selbst sowohl als mit der andern, sie möchten nun nahe sein oder fern, was würde dann das Heil unseres Lebens sein? Nicht auch eine Erkenntnis? Und wäre sie nicht, da sie ja auf Überschuss und Untermaß geht, eine messende Kunst? Und da auf Gerades oder Ungerades, kann sie wohl eine andere sein als die Rechenkunst? Würden uns das die Leute eingestehen oder nicht?“

Eine rihtige Matehmatisierung begann aber erst viele später, mit der Utilitarismus: Ethische Theorien wie der Utilitarismus, der das Ziel verfolgt, das größtmögliche Glück für die größtmögliche Anzahl von Menschen zu erreichen, scheinen eine Mathematisierung der Ethik nahezulegen. Das hedonistische Kalkül von Bentham ist ein klassisches Beispiel, aber es gibt sehr viele Weiterentwicklungen wie zum Beispiel die Gerechtigkeitstheorie von Lukas Meyer.

Die Schwierigkeit besteht jedoch darin, wie man „Glück“ oder „Nutzen“ quantitativ messen und vergleichen kann.

Axiomatisierung der Ethik: Einige Philosophen haben versucht, ethische Systeme auf der Grundlage von Axiomen aufzubauen, ähnlich wie die Mathematik.

Der Philosoph Baruch de Spinoza (1632-1677) präsentierte seine Ethik in „geometrischer Ordnung“ mit Definitionen, Axiomen und Lehrsätzen.

Andere Philosophen haben ähnliche Ansätze verfolgt, um moralische Prinzipien logisch abzuleiten. Allerdings stehen solche Versuche vor der Herausforderung, die Komplexität menschlicher Werte und moralischer Intuitionen in ein formales System zu zwängen.

4. Ethik der mathematischen Modellierung

Für Sie als zukünftige Lehrkräfte ist ein besonders wichtiger Aspekt die Ethik der mathematischen Modellierung.

Mathematische Modelle in der Praxis: Mathematische Modelle werden heute in vielen Bereichen eingesetzt, um Entscheidungen zu treffen, von der Medizin (z.B., Impfstoffverteilung) über die Wirtschaft (z.B., Kreditvergabe) bis hin zur Politik (z.B., Klimamodelle).

Verantwortung der Modellierer: Die Erstellung und Interpretation dieser Modelle ist mit großer Verantwortung verbunden. Fehlerhafte oder unethisch gestaltete Modelle können erhebliche negative Auswirkungen auf das Leben von Menschen haben.

Verantwortung der Anwender:  In der Corona-Pandemie wurden wir täglich mit Reproduktionszahlen, Inzidenzen und Impfquoten konfrontiert. Beim Klimawandel geht es um CO2-Emissionen, Temperaturanstiege und Wahrscheinlichkeiten für Extremwetterereignisse. Und bei der Migrationsdebatte spielen Statistiken über Zuwanderung, Asylverfahren und Integration eine zentrale Rolle. Um bei diesen komplexen Themen verantwortungsvoll mitbestimmen zu können und nicht alles einer politischen Elite oder vermeintlichen Experten zu überlassen, braucht es eine gute mathematische Bildung. Nur wer die Zahlen und Modelle hinter den Schlagzeilen versteht, kann sich eine eigene Meinung bilden und fundierte Entscheidungen treffen.

5. Beispiele für ethische Probleme bei der Modellierung:

Rechenfehler: Fehlerhafte Berechnungen können zu katastrophalen Folgen führen, wie das Beispiel des Rheinbrückenbaus zeigt, wo ein Vorzeichenfehler zu erheblichen Baufehlern und finanziellen Schäden führte.

• Rheinbrücke Laufenburg: Bei diesem Bauprojekt kam es zu einem Höhenunterschied von 54 Zentimetern zwischen den beiden Brückenteilen, da ein Vorzeichenfehler bei der Umrechnung von Höhenbezugspunkten gemacht wurde. Die Kosten für die Korrektur waren enorm.
• Kommafehler: Ein verrutschtes Satzzeichen im Gesetzestext hat bestimmte Formen von LSD in Deutschland kurz legal gemacht. In 2022 hat eine Tankstelle in Winterthur Diesel für nur 23 Raqppen verkauft. In England haben Studierende an einem Experiment teilgenommen und an einem Koffein-Überdosis kollabiert wegen Kommafehler.

Modellierungsfehler: Falsche Annahmen oder ungeeignete Vereinfachungen in Modellen können zu fehlerhaften Vorhersagen und Entscheidungen führen, wie bei der Corona-Pandemie, wo anfängliche Modelle teilweise die Schulschließungen rechtfertigten, sich aber später als nicht optimal erwiesen.

• Maßstabsprobleme: Die Verwendung unterschiedlicher Maßeinheiten oder Skalen kann zu Fehlinterpretationen und Fehlentscheidungen führen, wie das Beispiel des Mars Climate Orbiter zeigt, der aufgrund eines Fehlers bei der Umrechnung von Einheiten verloren ging.

• Mars Climate Orbiter: Die NASA-Sonde ging verloren, weil das Navigationssystem und der Bahnkorrektur-Algorithmus unterschiedliche Einheiten für den Schub verwendeten (Newtonsekunden vs. Pfund-Sekunden).
• Die Vasa, die zu den am stärksten bewaffneten Kriegsschiffen ihrer Zeit zählte, sank bereits bei ihrer ersten Fahrt. Heute in das Vasa-Museum in Stockholm ausgestellt, ist sie bis heute ein erstauliches Bauwerk. Ihr Sinken hatte mehrere Ursachen, eins davon war dass die Baumeister unterschiedliche Maßeinheiten verwendeten und somit das Schiff nicht symmetrisch war.

Falsche Modellannahmen: Modelle können auf problematischen Annahmen basieren, die zu Diskriminierung oder Ungerechtigkeit führen können.

• Beispiel: Vorhersage von Kriminalität: Algorithmen zur Vorhersage von Kriminalität können dazu neigen, bestimmte Stadtteile oder Bevölkerungsgruppen überproportional zu überwachen, wenn sie auf historischen Daten trainiert werden, die bestehende Vorurteile widerspiegeln.

Automatisierte Entscheidungen: Algorithmen treffen zunehmend Entscheidungen in unserem Leben, z.B. bei der Kreditvergabe oder der Bewerberauswahl. Es ist entscheidend, dass diese Algorithmen transparent, fair und frei von Diskriminierung sind.

Verwechslung von Korrelation und Kausalität: Modelle können Korrelationen zwischen Variablen aufzeigen, aber nicht notwendigerweise Kausalitäten. Es ist wichtig, diesen Unterschied zu verstehen, um Fehlschlüsse zu vermeiden.

• Beispiel: Plötzlicher Kindstod: Im Fall der Justizirrtümer rund um die britische Anwältin Sally Clark wurde argumentiert, dass die Wahrscheinlichkeit zweier Fälle von plötzlichem Kindstod in einer Familie extrem gering sei, was als Beweis für Mord gewertet wurde. Diese Argumentation ignorierte jedoch die mögliche Korrelation zwischen den Todesfällen (z.B. genetische Veranlagung).

Prävalenzfehler: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird falsch eingeschätzt, weil die Prävalenz des Ereignisses in der Grundgesamtheit nicht berücksichtigt wird.

• Beispiel: Medizinische Tests: Ein positiver Test auf eine seltene Krankheit bedeutet nicht zwangsläufig, dass die Person tatsächlich krank ist, da die Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses höher sein kann als die Wahrscheinlichkeit, die Krankheit zu haben.

Confusion of the Inverse: Die Wahrscheinlichkeit von A gegeben B wird mit der Wahrscheinlichkeit von B gegeben A verwechselt.

• Beispiel: Strafverfahren: Die Anwälte von O.J Simpson lieferten zum Beispiel solche Argumente.

Fehlschluss: Logische Fehler in der Argumentation, die zu falschen Schlussfolgerungen führen.

6. Strafverfahren 

Ich möchte hier einige Beispiele detaillierter behandeln.

O. J. Simpson wurde 1995 wegen der Morde an seiner Ex-Frau Nicole Brown Simpson und deren Freund Ronald Goldman angeklagt und freigesprochen.

Blut vom Tatort stimmte mit dem von Simpson überein, mit Merkmalen, die 1 von 400 Personen teilten. Die Verteidigung argumentierte jedoch, dass die Anzahl der Personen aus Los Angeles, die mit der Probe übereinstimmten, ein Fußballstadion füllen könnte und dass die Zahl von 1 zu 400 nutzlos sei.

Es wäre falsch und ein Beispiel für den Irrtum des Staatsanwalts gewesen, sich allein auf die Zahl „1 zu 400“ zu verlassen, um daraus abzuleiten, dass eine bestimmte Person, die mit der Probe übereinstimmt, wahrscheinlich der Täter wäre. Im selben Prozess präsentierte die Anklage Beweise dafür, dass Simpson seiner Frau gegenüber gewalttätig gewesen war. Die Verteidigung argumentierte, dass nur eine von 2500 Frauen, die häuslicher Gewalt ausgesetzt waren, ermordet wurde und dass jede frühere Gewalttätigkeit Simpsons gegenüber seiner Frau für den Prozess irrelevant sei. Die Begründung für die Berechnung der Verteidigung war jedoch fehlerhaft. Laut dem Autor Gerd Gigerenzer erfordert die korrekte Wahrscheinlichkeit zusätzlichen Kontext: Simpsons Frau war nicht nur häuslicher Gewalt ausgesetzt gewesen, sondern häuslicher Gewalt (durch Simpson) ausgesetzt und (von jemandem) getötet worden. Gigerenzer schreibt: „Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gewalttäter seine Partnerin tatsächlich ermordet hat, wenn sie getötet wurde, beträgt etwa 8 von 9 oder ungefähr 90 %.“

Während die meisten Fälle von häuslicher Gewalt nicht mit Mord enden, werden die meisten Mordfälle, bei denen es eine Vorgeschichte häuslicher Gewalt gibt, vom Ehepartner begangen.

Sally Clark, eine britische Juristin, wurde Im Jahr 1998 angeklagt, ihr erstes Kind im Alter von elf Wochen und dann ihr zweites Kind im Alter von acht Wochen getötet zu haben. Die Anklage präsentierte als Sachverständigen Sir Roy Meadow, einen Professor und beratenden Kinderarzt, der aussagte, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kinder in derselben Familie am plötzlichen Kindstod (SIDS) sterben, etwa 1 zu 73 Millionen beträgt. Diese Zahl war viel seltener als die tatsächliche Rate, die in historischen Daten gemessen wurde – Meadow schätzte sie anhand von Daten zu einzelnen SIDS-Todesfällen und der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit solcher Todesfälle bei Säuglingen unkorreliert sein sollte.

Meadow räumte ein, dass 1 zu 73 Millionen nicht unmöglich sei, argumentierte aber, dass solche Unglücksfälle „einmal alle hundert Jahre“ vorkommen würden und dass es in einem Land mit 15 Millionen Familien mit zwei Kindern weitaus wahrscheinlicher sei, dass die doppelten Todesfälle auf das Münchhausen-Stellvertretersyndrom  zurückzuführen seien als auf solch einen seltenen Unfall. Es gibt jedoch gute Gründe anzunehmen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Todes durch SIDS in einer Familie deutlich höher ist, wenn bereits ein vorheriges Kind unter ähnlichen Umständen gestorben ist. (Eine genetische Veranlagung für SIDS macht diese angenommene statistische Unabhängigkeit wahrscheinlich ungültig[19], was einige Familien anfälliger für SIDS macht und den Fehler zu einem Ergebnis des ökologischen Fehlschlusses macht.[20]) Die Wahrscheinlichkeit von zwei SIDS-Todesfällen in derselben Familie kann nicht zuverlässig geschätzt werden, indem man die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen solchen Todesfalls in allen ansonsten ähnlichen Familien quadriert.

Die Zahl von 1 zu 73 Millionen unterschätzte die Wahrscheinlichkeit zweier aufeinanderfolgender Unglücksfälle erheblich. Aber selbst wenn diese Einschätzung zutreffend gewesen wäre, scheint das Gericht übersehen zu haben, dass die Zahl von 1 zu 73 Millionen allein nichts bedeutete. Als A-priori-Wahrscheinlichkeit hätte sie gegen die A-priori-Wahrscheinlichkeiten der Alternativen abgewogen werden müssen. Angesichts der Tatsache, dass zwei Todesfälle eingetreten waren, musste eine der folgenden Erklärungen zutreffen, und alle sind a priori äußerst unwahrscheinlich:

• Zwei aufeinanderfolgende Todesfälle in derselben Familie, beide durch SIDS.
• Doppelmord (die Darstellung der Anklage).
• Andere Möglichkeiten (einschließlich eines Mordes und eines Falls von SIDS).

Es ist unklar, ob während des Prozesses jemals eine Schätzung der Wahrscheinlichkeit für die zweite Möglichkeit vorgelegt wurde oder ob das Gericht erkannte, dass der Vergleich der ersten beiden Wahrscheinlichkeiten die entscheidende Schätzung für die statistische Analyse zur Beurteilung der Anklage gegen die Unschuldsvermutung war.

Clark wurde 1999 verurteilt, woraufhin die Royal Statistical Society eine Pressemitteilung herausgab, die auf die Fehler hinwies. Im Jahr 2002 versuchte Ray Hill (ein Mathematikprofessor an der Universität Salford), die Wahrscheinlichkeit dieser beiden möglichen Erklärungen genau zu vergleichen. Er kam zu dem Schluss, dass aufeinanderfolgende Unglücksfälle 4,5 bis 9 Mal wahrscheinlicher sind als aufeinanderfolgende Morde, sodass die A-priori-Wahrscheinlichkeit für Clarks Schuld zwischen 4,5 zu 1 und 9 zu 1 gegen sie sprach.

Nachdem das Gericht feststellte, dass der Gerichtsmediziner, der beide Babys untersucht hatte, entlastendes Beweismaterial zurückgehalten hatte, hob ein höheres Gericht Clarks Verurteilung am 29. Januar 2003 auf. Sally Clark konnte sich leider nie wieder erholen und starb 2007 an Alkoholvergiftung. Siehe auch diese Arbeitsblätter.

Weitere brisante Beispiele: People v. Collins, Lucia de Berk. Die können als abschreckende Beispiele im Statistikunterricht verwendet werden.

7. Mathematikunterricht und ethische Bildung

Als zukünftige Lehrkräfte haben Sie die Möglichkeit und die Verantwortung, ethische Überlegungen in den Mathematikunterricht zu integrieren.

Förderung kritischen Denkens: Mathematik kann dazu beitragen, das kritische Denken von Schülerinnen und Schülern zu schärfen, damit sie statistische Argumente und mathematische Modelle kritisch hinterfragen können.

Bewusstsein für Vorurteile: Schülerinnen und Schüler sollten sich der potenziellen Vorurteile in Daten und Algorithmen bewusst werden.

Diskussion ethischer Dilemmata: Der Mathematikunterricht kann ein Raum sein, um ethische Dilemmata im Zusammenhang mit mathematischen Anwendungen zu diskutieren.

Fazit

Mathematik ist nicht wertfrei. Ethische Überlegungen sind sowohl für die mathematische Forschung als auch für die Anwendung mathematischer Methoden in der Praxis von Bedeutung. Als zukünftige Lehrkräfte spielen Sie eine wichtige Rolle dabei, Schülerinnen und Schüler für diese ethischen Dimensionen zu sensibilisieren und sie zu verantwortungsbewussten Nutzerinnen und Nutzern der Mathematik auszubilden. Weitere mögliche Themen sind in dieser Arbeit mit Verweisen enthalten:

Bátkai, A. (2023). Mathematik und Ethik: eine Überlegung für zukünftige Lehrpersonen. F&E Edition, 28, 43-50.

Literatur:

Krämer, W. (2015). So lügt man mit Statistik. Campus Verlag.

O’neil, C. (2017). Weapons of math destruction: How big data increases inequality and threatens democracy. Crown.

Buchanan, M. (2007). Statistics: conviction by numbers. Nature, 445(7125), 254–255. https://doi.org/10.1038/445254a

Ernest, P. (2021a). The Ethics of Mathematical Practice: Rejection, Realisation and Responsibility. Philosophy of Mathematics Education Journal, 2021(38), 1–33. https://doi.org/10.1007/978-3-030-19071-2_9-1

Nickel, G. (2007). Mathematik und Mathematisierung der Wissenschaften. Ethische Erwägungen. In J. Berendes (Hrsg.), Autonomie durch Verantwortung (S. 319–346). Brill mentis. https://brill.com/view/book/
edcoll/9783969750360/BP000014.xml