András Bátkai's Weblog

heute machen wir eine Reise durch die faszinierende Geschichte der Algebra und Zahlentheorie. Diese beiden Disziplinen bilden das Fundament vieler Bereiche der Mathematik und haben sich über Jahrtausende hinweg stetig weiterentwickelt.

1. Symbolik der Algebra

Beginnen wir mit einem scheinbar einfachen, aber dennoch grundlegenden Aspekt: der Symbolik der Algebra.

Frühe Algebra: In den frühen mathematischen Texten, wie denen aus Ägypten und Mesopotamien, wurden Gleichungen und Rechenoperationen meist in Worten ausgedrückt. Es gab nur wenige oder gar keine Symbole für Unbekannte, Operationen oder Beziehungen.

Diophantus: Ein wichtiger Schritt in Richtung einer symbolischeren Algebra wurde von dem griechischen Mathematiker Diophantus (ca. 3. Jahrhundert n. Chr.) unternommen. Er führte Symbole für Unbekannte und Potenzen ein, was eine kompaktere und effizientere Darstellung algebraischer Probleme ermöglichte.

Eine Gleichung in moderner Schreibweise, wie zum Beispiel 

wäre nach seinem Logik

was er so geschrieben hätte:

Die einzelnen Symbole haben folgende Bedeutung:

α (Alpha)	1 (Erste Buchstabe des Alphabets)
β (Beta)	2
ε (Epsilon)	5
ι (Iota)	10
ἴσ (ἴσος)	ist gleich
	Subtraction
M	Nullte Potenz (Konstante)
ζ (Zeta)	Unbekannte
(δύναμις)	Quadrat (wörtlich: Potenz)
(κύβος)	Dritte Potenz

Entwicklung der Symbolik: Die algebraische Symbolik entwickelte sich im Laufe der Jahrhunderte weiter, wobei arabische Mathematiker wie Al-Chwarizmi (ca. 780-850 n. Chr.) wichtige Beiträge leisteten.

Die arabische Mathematik trug zur Entwicklung von Algebra als eigenständige Disziplin bei und führte den Begriff „Algebra“ selbst ein (von arabisch „al-jabr“, was „das Zusammenfügen“ oder „das Ergänzen“ bedeutet). Ein wichtiger Beitrag dieser Gelehrten war die Systematisierung quadratischer und dritter Ordnung Gleichungen.

Ein praktisches Beispiel für den Einfluss der arabischen Welt auf die Symbolik ist die Verbreitung der arabischen (indischen) Ziffern in Europa. Obwohl diese Ziffern ihren Ursprung in Indien haben, wurden sie durch arabische Gelehrte bekannt und unter anderem durch Fibonacci (ca. 1170-1250) in Europa popularisiert.

Rechensysteme: Die Entwicklung von Rechensystemen, wie den Rechenschiebern und Logarithmentafeln, trug ebenfalls zur Vereinfachung und Effizienz von Berechnungen bei.

Logarithmen wurden im frühen 17. Jahrhundert von John Napier und Jost Bürgi unabhängig voneinander entwickelt. Sie beruhen auf der Tatsache, dass die Multiplikation von Zahlen durch die Addition ihrer Logarithmen ersetzt werden kann. Für Details über die Arbeit von Bürgi siehe den Vortrag über die Mathematiker der Reformation.

2. Gleichungen

Ein zentrales Thema der Algebra ist die Lösung von Gleichungen.

Lineare Gleichungen: Schon die alten Ägypter und Babylonier beschäftigten sich mit linearen Gleichungen. Die Ägypter verwendeten die „Methode des falschen Ansatzes“ (Regula Falsi), um lineare Gleichungen zu lösen. Die Babylonier entwickelten Methoden zur Lösung einfacher linearer Gleichungssysteme.

Quadratische Gleichungen: Auch quadratische Gleichungen wurden bereits von den Babyloniern untersucht. Al-Chwarizmi klassifizierte verschiedene Typen quadratischer Gleichungen und gab geometrisch motivierte Lösungsalgorithmen an. Ein Beispiel in moderner Notation ist folgende Gleichung:

Kubische Gleichungen: Die Lösung kubischer Gleichungen war ein bedeutender Fortschritt der Renaissance. Die Vorarbeit hat hier der berühmte Dichter und Theologe, Omar Chayyam (1048-1131) geleistet.

Mathematiker wie Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano und Scipione del Ferro trugen zur Entwicklung von Lösungsformeln bei. Die Geschichte um die Entdeckung und Veröffentlichung dieser Formeln wird oft als ein Beispiel für Prioritätsstreitigkeiten in der Mathematik abgetan, weil Cardano die Idee für die Lösungsformel von Tartaglia hatte. Cardano beansprucht allerdings dieses Resultat nicht für sich, und zitiert Tartaglia in seinem Buch “Ars Magna”. Er hat Tartaglias Resultate weitgehend verallgemeindert und sein Schüler Ludovico Ferrari hat die Idee auf vierte Ordnung Gleichungen angewendet. Als Cardano gehört hat, dass vor Tartaglia schon Scipione der Ferro auch die Lösungsmethode erkannt hat, hat er sich in 1545 für die Veröffentlichung entschieden.

Ars Magna ist ein beeindruckendes Werk. Es ist das erste Mal, dass vielfache Nullstellen von Polynomen behandelt werden. Hier machen auch die Zahlen, die man später komplexe Zahlen nennt, ihre erste Erscheinung. In Kapitel 37 wird folgendes Problem behandelt: Suche zwei Zahlen, deren Summe gleich 10 und deren Produkt gleich 40 ist. Die Lösungen sind in moderner Notation 5+-15 und 5–15. Cardano nennt diese Lösungen “so subtil wie Nutzlos”.

Er hat im Buch zweite, dritte und vierte Ordnung Gleichungen behandelt, sowohl Lösungsmethoden als auch Zusammenhänge zwischen Lösungen und Koeffizienten.

Das Grundidee für die Lösung der Gleichung 

war die Ähnlichkeit dieser Gleichung zu der kubischen binomischen Formel (der eine wichtige geometrische Bedeutung hat:

Sucht man die Lösung in Form von x=u+v, dann erhält man das Gleichungssystem

was zur Lösungsformel

führt.

Gleichungen höheren Grades: Nach den kubischen Gleichungen suchten Mathematiker nach Lösungen für Gleichungen 4. und höheren Grades.

Es gelang jedoch nicht, allgemeine Lösungsformeln für diese Gleichungen zu finden.

Die Arbeiten von Évariste Galois (1811-1832) im frühen 19. Jahrhundert führten zur Entwicklung der Galois-Theorie, die die Unmöglichkeit der Auflösung von Gleichungen ab dem 5. Grad durch Wurzelausdrücke erklärt.

3. Zahlentheorie

Die Zahlentheorie ist ein weiterer wichtiger Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Zahlen beschäftigt.

Pythagoreer: Die Pythagoreer im antiken Griechenland legten den Grundstein für viele zahlentheoretische Konzepte.

Sie untersuchten pythagoreische Zahlentripel (z. B. 3, 4, 5), Primzahlen, vollkommene Zahlen (deren Summe ihrer echten Teiler der Zahl selbst entspricht, z. B. 6 = 1 + 2 + 3) und befreundete Zahlen (Zahlenpaare, bei denen die Summe der echten Teiler der einen Zahl die andere Zahl ergibt) wie 220 und 284.

Euklid: Euklids „Elemente“ enthalten ebenfalls wichtige Beiträge zur Zahlentheorie, darunter: Der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Der Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen. Euklid sammelte auch all die Ergebnisse der Pythagoreer, darunter auch eine tiefe Analyse von pythagoreischen Zahlentripeln.

Diophantische Gleichungen: Diophantus beschäftigte sich mit Gleichungen, deren Lösungen ganze Zahlen sein sollen. Diese Gleichungen, die nach ihm als diophantische Gleichungen bezeichnet werden, sind ein wichtiges Forschungsgebiet der Zahlentheorie. 

Fermats letzter Satz: Ein berühmtes Problem der Zahlentheorie, Fermats letzter Satz, beschäftigte Mathematiker über 350 Jahre lang.

Der Satz besagt, dass es keine ganzzahligen Lösungen für die Gleichung an+bn=cn gibt, wenn n eine ganze Zahl größer als 2 ist. Pierre de Fermat (1607-1665) behauptete, einen Beweis dafür zu haben, der jedoch nie gefunden wurde. Der Beweis wurde schließlich 1995 von Andrew Wiles erbracht.

Primzahlverteilung: Ein wichtiges Thema der Zahlentheorie ist die Verteilung der Primzahlen. Der Primzahlsatz gibt eine grobe Abschätzung für die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze. Die Riemannsche Vermutung, eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik, würde die Kenntnis der Primzahlverteilung erheblich verbessern.

4. Abstrakte Algebra

Im 19. und 20. Jahrhundert entwickelte sich die abstrakte Algebra, die algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper untersucht.

Gruppentheorie: Die Gruppentheorie entstand aus der Untersuchung von Symmetrien und Permutationen. Évariste Galois verwendete die von ihm entwickelte Gruppentheorie, um die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen zu untersuchen. Für ihn waren Gruppen bestimmte Permutationen von Lösungen von algebraischen Gleichungen, die bestimmte Zusammenhänge (wie die Formeln von Viète) invariant lassen. 

Felix Klein (1849-1925) schlug in 1872 in seinem Erlanger Programm vor, die verschiedenen geometrischen Modelle mit Hilfe von Gruppen zu charakterisieren. So wird heute die euklidische Geometrie durch Bewegungen, die affine Geometrie durch Affinitäten sowie die projektive Geometrie durch Projektivitäten beschrieben.

Lineare Algebra: Chinesischen Mathematikern war schon im Altertum bekannt, wie man durch Elimination lineare Gleichungssysteme löst. Dies führte zu einer matrixartige Schreibweise. 

Die Determinanten wurden zuerst von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) eingeführt, um die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen besser untersuchen zu können. 

Die Theorie der Matrizen wurde hauptsächlich von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) entwickelt, um  lineare Transformationen in der Geometrie zu beschreiben. Das Matrizenprodukt wurde von ihm eingeführt, um die Verknüpfung von linearen Transformationen berechnen zu können.

Es war Arthur Cayley (1821-1895), der den Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Gleichungssystemen erkannte.  

Es war Hermann Günter Grassmann (1809-1877), der in einer Arbeit in 1844 unter anderem die modernen Konzepte endlichdimensionaler Vektorräume veröffentlicht hatte. Bei ihm war ein Vektorraum als die Menge aller Linearkombinationen definiert und er bewies verschiedene Eigenschaften von Vektorräumen, wie der Dimensionssatz. Giuseppe Peano (1858-1932) veröffentlichte eine Axiomatische Definition von Vektorräumen, die der heutigen Definition sehr nahe kommt. 

Moderne Algebra: Die moderne Algebra umfasst eine Vielzahl von Strukturen und Konzepten, die in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen eine Rolle spielen.

5. Algebra und Zahlentheorie im Mathematikunterricht

Für Sie als zukünftige Lehrkräfte ist es wichtig zu verstehen, wie sich Algebra und Zahlentheorie historisch entwickelt haben.

Motivation für algebraische Konzepte: Die Geschichte der Gleichungslösung kann dazu beitragen, Schülerinnen und Schüler für die Notwendigkeit und den Nutzen algebraischer Methoden zu motivieren.

Zahlentheoretische Entdeckungen: Die Beschäftigung mit zahlentheoretischen Problemen kann die Fähigkeit zum logischen Denken und zur Problemlösung fördern.

Verbindungen zwischen Algebra und Geometrie: Die historische Verbindung zwischen Algebra und Geometrie kann im Unterricht aufgegriffen werden, um ein tieferes Verständnis beider Disziplinen zu ermöglichen.

Fazit

Die Geschichte der Algebra und Zahlentheorie ist eine reichhaltige Quelle für spannende mathematische Probleme und elegante Lösungen. Sie zeigt, wie sich mathematische Ideen im Laufe der Zeit entwickelt haben und wie verschiedene Kulturen und Mathematiker zu diesem Prozess beigetragen haben. Für angehende Mathematiklehrerinnen und -lehrer ist die Kenntnis dieser Geschichte unerlässlich, um Schülerinnen und Schüler für die Mathematik zu begeistern und ihnen ein fundiertes Verständnis der Disziplin zu vermitteln.