András Bátkai's Weblog

Heute möchte ich Sie auf eine Reise durch die Geschichte der Analysis mitnehmen, einem der faszinierendsten und zugleich anspruchsvollsten Gebiete der Mathematik. Wir werden uns mit den grundlegenden Ideen, den wichtigsten Persönlichkeiten und den entscheidenden Entwicklungen befassen, die die Analysis zu dem gemacht haben, was sie heute ist.

Zeiten	Personen	Stichwörter (was wurde da gemacht)
Vorgeschichte (5. Jhd. v. Chr.)	Antiphon, Eudoxos von Knidos	Erste infinitesimale Betrachtungen, Entwicklung der Exhaustionsmethode zur Annäherung von Flächen krummliniger Figuren.
Vorgeschichte (5. Jhd. v. Chr.)	Zenon von Elea, Aristoteles	Philosophische Kritik: Zenons Paradoxien stellten das Konzept der Unendlichkeit und Bewegung in Frage. Aristoteles unterschied zwischen potentieller und aktueller Unendlichkeit und lehnte infinitesimale Zahlen ab.
Vorgeschichte (Antike)	Archimedes	Anwendung der Exhaustionsmethode zur Berechnung von Flächen und Volumen (z.B. die Quadratur der Parabel und die Berechnung von Pi).
Frühe Neuzeit (17. Jahrhundert)	Cavalieri, Fermat, Descartes	Cavalierisches Prinzip, Arbeiten zur Tangentenbestimmung.
Infinitesimalrechnung (17. Jahrhundert)	Isaac Newton	Unabhängige Entwicklung der Differential- und Integralrechnung, Fluxionsmethode.
Infinitesimalrechnung (17. Jahrhundert)	Gottfried Wilhelm Leibniz	Unabhängige Entwicklung der Differential- und Integralrechnung, Begründung der modernen Schreibweise des Kalküls.
Weiterentwicklung (18. Jahrhundert)	Bernoulli (Familie), Leonhard Euler	Umfangreiche Erweiterung des Feldes, bedeutende Beiträge zur Entwicklung des Kalküls, Funktionentheorie, Funktionalanalysis, Differentialgeometrie.
Reihenentwicklung (18. Jahrhundert)	Brook Taylor	Entwicklung der Taylor-Reihe (1712).
Grundlagenkritik (18. Jahrhundert)	Joseph-Louis Lagrange	Versuch, die Differentiation mittels Potenzreihen zu definieren.
Grundlagen der Analysis (19. Jahrhundert)	Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstraß	Schaffung einer strengeren mathematischen Grundlage für die Analysis (z.B. Delta-Epsilon-Definition des Grenzwerts).
Spezifische Bereiche (19. Jahrhundert)	Fourier, Riemann	Entwicklung der Fourieranalyse, Formulierung der Riemannschen Hypothese.
Moderne Analysis (20. Jahrhundert)	Lebesgue, Hilbert, Banach, Riesz	Entwicklung der Maßtheorie, Funktionalanalysis

1. Die Vorläufer der Analysis

Obwohl die Analysis in ihrer modernen Form erst im 17. Jahrhundert entstand, reichen ihre Wurzeln bis in die Antike zurück.

Mesopotamien: Wie wir gesehen haben, hatte man in Altbabylonien ausgefeilte Näherungsmethoden, um Quadratwurzeln zu berechnen.  

Zenon von Elea (ca. 490 – 430 v. Chr.): Der griechische Philosoph Zenon von Elea ist bekannt für seine Paradoxien, die sich mit Begriffen wie Unendlichkeit, Bewegung und Teilbarkeit beschäftigen.

Zenons Paradoxien: Paradoxien wie „Achilles und die Schildkröte“ oder der „Pfeil“ stellten die intuitive Vorstellung von Raum und Zeit in Frage und regten zum Nachdenken über Grenzprozesse an, die später in der Analysis eine zentrale Rolle spielen sollten.

Eudoxos von Knidos (ca. 408 – 355 v. Chr.) und Archimedes (ca. 287 – 212 v. Chr.): Diese griechischen Mathematiker entwickelten die Exhaustionsmethode, eine Vorform der Integralrechnung, um Flächen und Volumina zu bestimmen.

Exhaustionsmethode: Eudoxos wandte sie an, um Aussagen über Flächeninhalte von Kreisen zu beweisen. Archimedes nutzte sie, um Flächeninhalte von Parabelsegmenten und das Volumen von Pyramiden und Kegeln zu bestimmen.

Archimedes und Pi: Archimedes näherte sich dem Wert der Kreiszahl π, indem er regelmäßige Vielecke innerhalb und außerhalb des Kreises betrachtete.

Er erkannte, dass der Umfang eines dem Kreis einbeschriebenen Vielecks kleiner ist als der Kreisumfang, während der Umfang eines dem Kreis umschriebenen Vielecks größer ist.

Durch Erhöhung der Seitenzahl der Vielecke näherte er sich dem Kreisumfang immer genauer an. Die Berechung ist rekursiv. Schauen wir uns an, wie man die neuen (rote) eingeschriebene Seitenlänge bekommt aus dem alten (grün).

Bezeichnen wir die eingeschriebene Seiten mit sn.

Dann gelten wegen Ähnlichkeit und Pythagoras:

Aus dem erhalten wir:

,

das heißt,

.

Sei sₙ die Seitenlänge eines regelmäßigen n-Ecks im Einheitskreis, dann gilt für den Umfang des n-Ecks: Uₙ = n * sₙ. Für n = 6 (Sechseck) ist s₆ = 1, also U₆ = 6. Für n = 12 ist s₁₂ = √(2 – √(2 + √3)) ≈ 0.5176, also U₁₂ = 6.2117. Mit wachsendem n nähert sich Uₙ dem Wert 2π an.

Archimedes fand so die Ungleichung: 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7.

2. Die Entwicklung der Analysis im 17. Jahrhundert

Im 17. Jahrhundert erlebte die Mathematik einen revolutionären Aufschwung, der zur Entstehung der Analysis führte. Wesentliche Beiträge kamen von:

• Johannes Kepler (1571–1630): Seine Arbeiten zur Planetenbewegung, insbesondere die Formulierung der Keplerschen Gesetze, waren ohne die Entwicklung der Infinitesimalrechnung nicht möglich gewesen. In der Analysisvorlesung lernt man das keplersche Fassproblem kennen.
• Bonaventura Cavalieri (1598-1647): ist für das Prinzip der Cavalieri berühmt: Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn alle ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer Grundebene in gleichen Höhen den gleichen Flächeninhalt haben. Als Beispiel kann man sich den Halbkugel und den Zylinder, aus dem ein Kegel entfernt ist, anschauen.

Betrachtet man das von der Seite, bekommt man

Beim Kugel (links) erhalten wir

Rechts sehen wir

Die Beiden sind gleich. Somit kann man das Prinzip der Cavalieri anwenden und das Volumen der Halbkugels ist die Differenz von Volumen von Zylinder und Kegel:

• Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716): Unabhängig voneinander entwickelten Newton und Leibniz die Infinitesimalrechnung, die die Grundlage der modernen Analysis bildet.

• Newton: Er betrachtete Funktionen hauptsächlich im Zusammenhang mit Bewegung und physikalischen Problemen. Seine Notation für Ableitungen war oft ein Punkt über der Funktion (z. B. ẋ für die Ableitung von x nach der Zeit t).
• Leibniz: Er konzentrierte sich stärker auf die mathematischen Aspekte der Infinitesimalrechnung und entwickelte eine prägnante Notation (dy/dx), die in der Mathematik bis heute weit verbreitet ist.

Funktionsbegriff: Der Funktionsbegriff wurde im 18. Jahrhundert, insbesondere durch Leonhard Euler, präzisiert und verallgemeinert. Während man zuvor unter einer Funktion meist einen algebraischen Ausdruck verstand, erweiterte Euler den Begriff auf beliebige Zuordnungen zwischen Variablen.

Beispiel aus der Variationsrechnung: Brachistochrone-Problem: Johann Bernoulli stellte 1696 das Problem, den Weg zu finden, auf dem ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Schwerkraft am schnellsten von einem Punkt A zu einem tiefer liegenden Punkt B gelangt. Die Lösung ist nicht die gerade Linie, sondern eine Zykloide, eine Kurve, die von einem Punkt auf einem rollenden Rad erzeugt wird. Dieses Problem führte zur Entwicklung der Variationsrechnung, einem wichtigen Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Optimierung von Funktionalen (Funktionen von Funktionen) beschäftigt.

3. Potenzreihen 

Ein wichtiges Werkzeug in der Analysis sind Potenzreihen, die es ermöglichen, viele Funktionen als unendliche Summen von Potenzen darzustellen. Bereits Newton und Leibniz erkannten die Bedeutung von Potenzreihen für die Darstellung und Untersuchung von Funktionen. Die Idee dahinter ist, dass man mit Potenzreihen so rechnen kann, als wären sie Polynome. Als Beispiel betrachten wir folgendes (wobei wir das Rechnen auf dem formalen Ebene halten, die Begründungen sind Standard in den Analysis-Vorlesungen): Wenn 

,

dann

.

Das heißt,

usw.

Newton hatte in 1665 folgende Idee:

dann ist  

dann ist

Das ist in ein Spezialfall der binomischen reihe:

Ein anderes Beispiel ist:

Ausgehend von dem elementaren Zusammenhang (für |x|<1):

Wir erinnern uns:

somit erhalten wir

Für x=1 die Formel liefert

Diese reihe wurde von Nikolaus Mercator in 1668 in seinem Buch festgehalten.

Als drittes Beispiel starten wir wieder mit der geometrischen Reihe:

Wissend aber, dass 

wir erhalten

Für x=1 erhalten wir

Diese Darstellung von hat Leibniz so erfreut, dass er ihn in 1682 in seiner Veröffentlichung mit dem Vergil-Zitat das verbunden hat:

“Gott freut sich über ungerade Zahlen”(Vergil, 8. Ekloge Vers 76.).

4. Die Herausbildung der modernen Analysis im 19. Jahrhundert

Im 19. Jahrhundert wurde die Analysis auf eine solide theoretische Grundlage gestellt. Wegbereiter waren:

• Augustin-Louis Cauchy (1789–1857): Er führte den Grenzwertbegriff präzise ein und definierte Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit auf rigorose Weise.
• Bernhard Bolzano (1781–1848): Bolzano entwickelte, unabhängig von Cauchy, ähnliche Ideen und bewies wichtige Sätze wie den Zwischenwertsatz.
• Karl Weierstraß (1815–1897): Weierstraß trug maßgeblich zur „Arithmetisierung der Analysis“ bei, indem er die Analysis auf der Grundlage des Zahlbegriffs aufbaute und den Epsilontik-Delta-Formalismus prägte, der heute in der Analysis verwendet wird.

5. Bedeutende Konzepte und Sätze der Analysis

Die Analysis umfasst eine Vielzahl von Konzepten und Sätzen, die für das Verständnis und die Anwendung der Mathematik unerlässlich sind. Hier sind einige der wichtigsten:

• Grenzwert: Der Grenzwertbegriff ist die Grundlage der Analysis. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion oder Folge, wenn sich das Argument einem bestimmten Wert nähert.
• Stetigkeit: Eine Funktion ist stetig, wenn kleine Änderungen im Argument nur kleine Änderungen im Funktionswert bewirken.
• Gleichmäßige Stetigkeit: Eine Funktion ist gleichmäßig stetig, wenn die Wahl des Deltas in der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit nicht vom Wert des Arguments abhängt.
• Differenzierbarkeit: Die Ableitung einer Funktion beschreibt die Steigung ihrer Tangente und damit die Änderungsrate der Funktion.
• Integrierbarkeit: Das Integral einer Funktion verallgemeinert den Begriff des Flächeninhalts unter einer Kurve.
• Zwischenwertsatz: Ein stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen zwei Funktionswerten an.
• Mittelwertsatz: Die Steigung einer stetigen und differenzierbaren Funktion an einer Stelle entspricht der durchschnittlichen Steigung zwischen zwei Punkten.
• Potenzreihen: Viele Funktionen können als unendliche Summen von Potenzen dargestellt werden, was ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung von Funktionen ist.

6. Die Analysis im Mathematikunterricht

Als zukünftige Lehrkräfte werden Sie Analysis unterrichten und ihren Schülerinnen und Schülern die grundlegenden Konzepte dieser Disziplin vermitteln.

• Verständnis der historischen Entwicklung: Ein Verständnis der historischen Entwicklung der Analysis kann Ihnen helfen, die Schwierigkeiten und Herausforderungen zu antizipieren, mit denen Schülerinnen und Schüler beim Erlernen dieser Konzepte konfrontiert sind.
• Motivation durch Anwendungen: Die zahlreichen Anwendungen der Analysis in realen Problemen können genutzt werden, um Schülerinnen und Schüler für das Fach zu begeistern und seine Relevanz zu demonstrieren.
• Förderung des abstrakten Denkens: Die Analysis erfordert ein hohes Maß an abstraktem Denken. Sie können Ihren Schülerinnen und Schülern helfen, diese Fähigkeit durch geeignete Aufgaben und Beispiele zu entwickeln.

Fazit

Die Analysis ist ein faszinierendes und mächtiges Gebiet der Mathematik mit einer reichen Geschichte und vielfältigen Anwendungen. Als zukünftige Lehrkräfte spielen Sie eine entscheidende Rolle dabei, die nächste Generation von Mathematikerinnen und Mathematikern auszubilden und ihnen die Werkzeuge an die Hand zu geben, mit denen sie die Welt um uns herum verstehen und gestalten können.