András Bátkai's Weblog

Dieser Vortrag taucht tief in die Entwicklung der Philosophie der Mathematik ein, beginnend in der Antike und sich bis zur Aufklärung erstreckend. Der Schwerpunkt liegt auf zwei fundamentalen Bereichen: der Ontologie mathematischer Objekte (was sie sind, wo sie existieren, in welchem Sinne sie real sind) und der Epistemologie (wie mathematisches Wissen erworben oder konstruiert wird). Obwohl sich die Philosophie der Mathematik typischerweise auf diese Aspekte konzentriert, gibt es natürlich auch Berührungspunkte zu anderen philosophischen Disziplinen wie der Ästhetik oder Ethik, die in anderen Vorlesungen bereits angedeutet wurden.

Die Kernfragen, die uns in diesem Bereich beschäftigen, sind, was die „3“ ist und was Zahlen überhaupt sind. Es stellt sich die breitere Frage, was mathematische Objekte sind, wo sie sich befinden und wie mathematisches Wissen entsteht. Um diese Fragen zu beantworten, haben sich historisch vier Hauptpositionen herausgebildet: die idealistische Position, die den Ursprung der Erkenntnis in einer geistigen, intelligiblen Welt ansiedelt; die empiristische Position, der zufolge die Realität uns über die Erfahrung Erkenntnisse liefert; die rationalistische Position, die die Grundlage unserer Erkenntnis in den Strukturen des Denkens sieht; und die konventionelle oder sozialkonstruktivistische Philosophie der Mathematik, die argumentiert, dass mathematisches Wissen ein soziales und kulturelles Produkt ist, das von Menschen in Interaktion miteinander geschaffen wird. Jede dieser Positionen verfügt über starke Argumente zu ihren Gunsten und kann gleichzeitig kritisiert werden. Die persönliche Präferenz hängt oft vom individuellen Weltbild ab. Viele Fachbücher zur Philosophie der Mathematik neigen dazu, eine dieser Positionen zu vertreten und zu argumentieren.

Um die Vielschichtigkeit der Debatte zu erfassen, ist es hilfreich, die historischen Entwicklungen und die Standpunkte prägender Philosophen zu betrachten.

Historische Entwicklung der Mathematikphilosophie

Die Pythagoreer (ca. 6. Jh. v. Chr.)

Pythagoras von Samos war ein antiker griechischer Philosoph und Gründer einer religiös-philosophischen Bewegung. Seine Lehre hatte weitreichende Einflüsse, auch auf die Mathematik. Die Pythagoreer waren bekannt für die These „Alles ist Zahl“. Der ontologische Pythagoreismus besagt, dass mathematische Gegenstände ontologisch fundamental sind und die Welt aus ihnen besteht. Die natürlichen Zahlen und deren Verhältnisse galten als Grundbausteine der Welt. Diese Vorstellung wurzelt in der Idee, dass die Welt nach Zahlen und geometrischen Prinzipien geordnet ist, was als Zeichen einer göttlichen Ordnung wahrgenommen wurde. Schon in alten mesopotamischen Schöpfungsmythen findet sich die Vorstellung, dass die Welt nach Ordnung und Maß erschaffen wurde, wobei alles nach Zahlen und geometrischer Ordnung geformt ist. Ein wesentliches Erbe der Pythagoreer ist die Annahme, dass Mathematik die Grundlage der Wissenschaft bildet. Diese Idee wurde später von Galileo Galilei (1564–1642) aufgegriffen, der die Mathematik als die Sprache der Natur bezeichnete. Diese Auffassung führte zu einer wissenschaftlichen Revolution, die bis zur Industrialisierung reichte und die Art und Weise, wie wir die Welt verstehen, maßgeblich beeinflusste.

Platon (ca. 428/427 – 348/347 v. Chr.)

Platon, ein Schüler des Sokrates und prägender Figur der Philosophie, lehnte die Erkenntnisgewinnung allein durch die Sinne ab und betonte eine geistige Welt der Ideen. Seine Mathematikphilosophie ist untrennbar mit seiner berühmten Ideenlehre verbunden. Platon unterschied fundamental zwei Weisen des Seins: die Welt der Ideen und die materielle Welt.

Die Welt der Ideen ist eine unveränderliche, konstante Welt, in der klare, reale Gegenstände existieren, die außerhalb von Zeit und Raum und unabhängig vom menschlichen Erkennen sind. Ideen sind einzigartig; es gibt zum Beispiel nur eine Idee der Einheit, der Schönheit oder der Kreisförmigkeit. Ideen existieren wirklich und bestimmen die Existenz der realen Dinge. Physische Dinge entspringen aus diesen Ideen oder haben an ihnen teil. Ein Ding ist zum Beispiel kreisförmig, wenn es an der Idee der Kreisförmigkeit teilhat. Physikalische Dinge sind niemals perfekt, sondern haben nur einen mehr oder weniger großen Anteil an den Ideen.

Die materielle Welt besteht aus veränderlichen Dingen, die der Mensch mit seinen Sinnen wahrnimmt. Sie haben einen geringeren Realitätsgrad und erscheinen lediglich als unbeständige Schatten oder Abbilder der Ideen. Ideen sind die Urbilder der Dinge, und Dinge sind wie Bilder der Ideen.

Mathematische Begriffe sind wie die Ideen immateriell und real und besitzen den Charakter der Unveränderlichkeit, Klarheit und Notwendigkeit. Wie die Ideen existieren auch mathematische Begriffe unabhängig von Raum und Zeit. Eine Konsequenz von Platons Ansicht ist, dass Mathematiker mathematische Begriffe nicht hervorbringen oder erfinden, sondern sie vorfinden und dann beschreiben. Sie sind wie Entdecker, die eine bereits existierende Welt erkunden.

Zahlen werden bei Platon oft in einem Atemzug mit den Ideen genannt und scheinen unter den mathematischen Gegenständen von besonderer Art zu sein. Sie sind immaterielle Vermittler zwischen den Ideen und der materiellen Wirklichkeit. Zahlen und Geometrie bilden das Tor zur Welt der Ideen.

Die Ideenlehre ermöglichte es Platon, das Problem des Zusammenhanges zwischen reiner und angewandter Mathematik zu klären. Da die Gesetze der reinen Mathematik auf die materielle Welt passen, sind diese materiellen Dinge Bilder der immateriellen Ideen und Begriffe. Ein einfaches Beispiel ist „2+1=3“ (reine Mathematik), das auf „Zwei Äpfel und ein Apfel sind drei Äpfel“ (angewandte Mathematik) übertragen werden kann, da ein Apfel an der Idee der Einheit teilhat.

Da physische Dinge nur unscharfe Bilder der Ideen sind, können mathematische Gesetze keine bloßen Abstraktionen aus der Wahrnehmung der Dinge sein. Mathematik ist eine Beschreibung einer Welt, die unabhängig von Zeit, Raum und menschlichem Erkennen existiert. Selbst wenn es keine Mathematiker auf der Erde gäbe, würde die Welt der Zahlen, geometrischen Figuren und ihrer Relationen zueinander existieren. 

Um die Position Platons zu illustrieren, lesen wir folgenden Zitat aus der “Staat” (Buch 7, Abschnitt 9 (526C-527C):

-Damit hätten wir also ein erstes Lehrfach festgelegt, fuhr ich fort. Wie ist es nun mit dem zweiten, das damit zusammenhängt? Sehen wir, ob es sich für uns eignet!

-„Welches denn? Meinst du etwa die Geometrie?“ fragte er.

-Ja, gerade sie, erwiderte ich.

-„Soweit sie sich auf das Kriegswesen bezieht“, sagte er, „ist es klar, dass sie sich eignet. Um das Lager abzustecken, um feste Plätze einzunehmen, um das Heer zusammenzuziehen oder zu entfalten, und was es sonst noch für Truppenbewegungen in der Schlacht selbst oder auf dem Marsch geben mag: da macht es ja gewiss etwas aus, ob man von Geometrie etwas versteht oder nicht.“

-Nun denn, sagte ich, dafür genügt doch wohl ein bescheidenes Stück Geometrie und Rechenkunst. Dagegen müssen wir untersuchen, ob ihr wichtigerer und weiter reichender Teil etwas zu unserem Zwecke beiträgt, uns die Anschauung der Idee des Guten zu erleichtern. Es trägt aber alles dazu bei, behaupten wir, was die Seele zwingt, sich dem Orte zuzuwenden, wo das Glückseligste von allem Seienden sich befindet, das sie unbedingt schauen muss.

-„Du hast recht.“, sagte er.

-Wenn also die Geometrie uns nötigt, das Sein zu schauen, dann eignet sie sich; nötigt sie uns, das Werden zu schauen, dann eignet sie sich nicht.

-„Ja, das behaupten wir.“

-Wer also auch nur ein wenig in der Geometrie bewandert ist, sagte ich, wird uns darin nicht widersprechen, dass diese Wissenschaft ganz etwas anderes ist, als wie die darüber reden, die sich berufsmäßig mit ihr befassen.

-„Wieso?“ fragte er.

-Sie reden doch auf recht lächerliche und notdürftige Art davon. Denn als ob sie Praktiker wären und als ob es um eines Handelns willen geschähe, drücken sie sich aus und sagen, dass sie quadrieren und prolongieren und addieren und was sie noch für Ausdrücke gebrauchen,während doch dieses ganze Lehrfach nur um der Erkenntnis willen betrieben wird.

-„Ja, allerdings“, sagte er

-Und müssen wir nicht auch das Folgende zugeben?

-„Was denn?“

-Dass es dabei um die Erkenntnis des immer Seienden geht und nicht dessen, was irgendwann entsteht und dann wieder vergeht?

-„Da werden wir uns leicht einig“, sagte er. „Die Geometrie ist doch die Erkenntnis des immer Seienden.“

-Dann, mein Bester, würde sie also die Seele zur Wahrheit hinziehen, sagte ich, und philosophisches Denken in uns wirken; wir richten dann nach oben, was wir jetzt, obschon es nicht so sein sollte, nach unten richten.

-„Ja, das tut sie so sehr als möglich“, sagte er.

-Wir müssen also mit allem Nachdruck darauf halten, fuhr ich fort, dass die Bürger unserer Musterstadt die Geometrie auf keinen Fall vernachlässigen.

(Platon: „Der Staat“, deutsch von Rudolf Rufener, dtv München, 4. Auflage, 2004, S. 318/319)

Der Moderne Platonismus, der auch heute noch sehr beliebt ist, hat drei Kernannahmen:

1. Mathematische Gegenstände wie Mengen, Zahlen, Relationen, Funktionen usw. existieren.
2. Mathematische Gegenstände sind unabhängig von mentalen Vorgängen. Sie existieren unabhängig von uns.
3. Mathematische Gegenstände sind abstrakt. Sie sind nicht konkret in der materiellen Welt vorzufinden.

Typische Argumente für den modernen Platonismus sind:

• Eine große Mehrheit der Mathematiker ist davon überzeugt, dass die Gegenstände, mit denen sie sich beschäftigen, unabhängig von mentaler Aktivität existieren und abstrakt sind.
• Die Aussagen der Mathematik sind objektiv (unabhängig von mentalen Vorgängen). Logische Regeln garantieren die Wahrheit mathematischer Aussagen.
• Wir sollten die Existenz all derjenigen Gegenstände annehmen, die in unseren besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar sind. Mathematische Gegenstände sind in unseren besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar.
• Konkrete Gegenstände, die unabhängig von mentalen Vorgängen existieren, sind zu einer Zeit an einem Ort. Mathematische Gegenstände sind nicht zu einer Zeit an einem Ort. Sie sind abstrakt.

Der moderne Platonismus, obwohl er nicht mehr explizit von „Ideen“ spricht, geht davon aus, dass mathematische Objekte unabhängig von uns existieren. Die Aufgabe des Mathematikers ist es demnach, diese Welt zu entdecken. Diese Denkweise ist im Schulunterricht weit verbreitet und die verwendete Fachsprache stützt sich auch darauf. Die Attraktivität dieser Position liegt auch in einem gewissen Wunschdenken, dass die untersuchten Objekte wirklich existieren und keine bloßen „Hirngespinste“ sind, ähnlich wie ein Biologe Bäume oder ein Physiker Objekte untersucht.

Aristoteles (384 – 322 v. Chr.)

Aristoteles, ein Schüler Platons und später Gründer seiner eigenen Schule, lehnte die platonische Ideenlehre und die Vorstellung von unabhängigen idealen Objekten einer primären Welt ab. Aristoteles gründete seine eigene Schule aus politischen Gründen, da er kein Bürger war und somit keinen Besitz haben konnte. Zudem pflegte gute Kontakte zu den Makedoniern, wurde ja später  Erzieher Alexanders des Großen, die in Athen zu dieser Zeit unbeliebt waren.

Für Aristoteles ist Mathematik keine Lehre über unabhängige ideale Objekte, sondern vielmehr eine Lehre über „mathematische Objekte“, die aus den realen Dingen im Prozess einer Art Abstraktion und Idealisierung gewonnen werden. Der Mathematiker abstrahiert, bevor er die Untersuchung beginnt, alles Sinnliche wie Schwere und Leichtigkeit, Härte und deren Gegenteil, Wärme und Kälte und andere Gegensätze der sinnlichen Wahrnehmung. Er lässt nur das Quantitative und Kontinuierliche von einer, von zwei und von drei Dimensionen übrig, sowie die Bestimmungen dieser Gegenstände, sofern sie Quanten und kontinuierlich sind. Alles andere kümmert ihn nicht. (Metaphysik (1061 a 28) ).

Für Aristoteles war „drei“ nicht ein für sich existierendes immaterielles Objekt, sondern eine Eigenschaft, die an materielle Objekte gebunden ist. Ein Tisch ist beispielsweise drei Fuß breit, ein Zeitraum dauert drei Tage. Zahlen sind nicht von den Dingen losgelöst, sondern haben als (geistige) Formkräfte die Fähigkeit, gemeinsam mit anderen Formkräften den Stoff, die Materie, zu den Dingen zu formen. Sie sind untrennbar mit den Dingen verbunden und werden im Denken in einer Art Abstraktion erkannt.

Aristoteles interessierte sich mehr für das Theoriesystem als für deren einzelne Aussagen. Mathematik war für ihn ein Beispiel einer Wissenschaft in seiner Methodologie. Das Fundament jedes Wissens bilden für ihn die allgemeinen Begriffe, für die es keine Definitionen gibt und die keine Definitionen benötigen, sowie die allgemeinen Gesetze, für die es keine Beweise gibt und die auch keine Beweise benötigen. Alle weiteren Begriffe sollten definiert und alle weiteren Sätze auf der Basis der undefinierten Grundbegriffe und Ausgangshypothesen bewiesen werden.

Er unterschied vier Komponenten in einzelnen Theorien:

• Axiome: Aussagen allgemeinen Charakters, die fundamentale Begriffe beschreiben und allen Theorien gemeinsam sind.
• Postulate: Spezifische Prinzipien, die spezielle Eigenschaften der Objekte beschreiben, die in der gegebenen Theorie untersucht werden.
• Definitionen: Definitionen der spezifischen Begriffe.
• Hypothesen: Sichern die Existenz der definierten Objekte. Aristoteles betonte jedoch, dass solche Hypothesen über die Existenz in der reinen Mathematik nicht notwendig sind. Dies ermöglichte es ihm, die Frage nach der Existenz mathematischer Objekte etwas zu umschiffen.

In Bezug auf die Unendlichkeit unterscheidet Aristoteles zwischen potenzieller und aktueller Unendlichkeit. Er akzeptiert, dass etwas ein Unendliches sein kann, „dadurch, dass es ein immer weiteres Hinzufügen […] zulässt“. Dies ist die potenzielle Unendlichkeit. Er lehnt die Vorstellung ab, dass ein solches Unendliches „selber als abgetrennt für sich […] existiere“. Eine aktuelle Unendlichkeit (als Gesamtheit existierend) konnte er sich nicht vorstellen. (Methaphysik K 10)

Euklid (ca. 300 v. Chr.)

Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der die „Elemente“ verfasste, ein fundamentales Werk zur Mathematik. In Buch VII der „Elemente“ definiert Euklid die Einheit als das, wonach jedes Ding „eins“ genannt wird. Eine Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Vielheit. In diesem philosophischen Kontext ist die „1“ keine Zahl, erst die „2“ oder „3“ wird als Zahl betrachtet. Euklid übernahm die von Aristoteles formulierten und umgesetzten methodologischen Prinzipien, einschließlich Definitionen, Axiome und Postulate. Axiome sind allgemeine Aussagen (z.B. „Gleiches plus Gleiches ist gleich“). Postulate sind spezifisch geometrische Aussagen (z.B. „Über zwei Punkte kann man eine Gerade zeichnen“).

Proklos (412 – 485 n. Chr.)

Proklos war ein spätantiker neuplatonischer Philosoph und ein bedeutender Kommentator antiker Werke. Vieles, was wir heute über Euklid und Platon wissen, wurde durch Proklos festgehalten, der viel später, im 15. Jahrhundert, lebte, also 800 Jahre nach Platon. Proklos übernahm die von Aristoteles formulierten und von Euklid in den „Elementen“ umgesetzten methodologischen Prinzipien. Er unterschied in jeder Theorie Definitionen, Axiome und Postulate. In seinem Kommentar erörterte er die Natur und den Charakter von Axiomen und Postulaten und kam zu dem Schluss, dass sie weder Begründungen noch Beweise brauchen und als selbstverständlich und sicher gelten.

Thomas von Aquin (1225 – 1274)

Thomas von Aquin war ein einflussreicher Dominikanermönch und bedeutender Theologe und Philosoph der Scholastik. Seine Philosophie der Mathematik ist untrennbar mit seiner gesamten metaphysischen und erkenntnistheoretischen Konzeption verbunden, die stark von Aristoteles beeinflusst und in einen christlichen Kontext eingebettet ist.

Für Thomas ist die Mathematik eine Wissenschaft, die sich durch Abstraktion auszeichnet. Während die Naturphilosophie Dinge unter dem Aspekt von Materie und Bewegung betrachtet, abstrahiert die Mathematik von der individuellen, sinnlich wahrnehmbaren Materie. Sie betrachtet die Quantität (Zahl und Größe) der Dinge, aber nicht deren konkrete materielle Existenz. Hier schließt er sich stark an Aristoteles an.

Die Mathematik gilt für Thomas als eine Wissenschaft von hoher Gewissheit. Dies liegt daran, dass sie von der unbeständigen Materie abstrahiert und sich mit allgemeinen und notwendigen Beziehungen befasst. Ihre Erkenntnisse sind daher zuverlässiger als die der Naturwissenschaften, die sich mit der materiellen und damit veränderlichen Welt beschäftigen.

Zahlen sind zunächst im konkreten, materiellen Ding vorhanden, als eine seiner Eigenschaften oder Akzidenzien (die Quantität). Ein Haus hat beispielsweise eine bestimmte Anzahl von Fenstern, ein Baum hat eine bestimmte Anzahl von Ästen. Die „Zweiheit“ von Fenstern existiert in den Fenstern selbst, nicht als von ihnen losgelöste Entität. Die eigentliche „Existenz“ der Zahl als Objekt der mathematischen Erkenntnis entsteht durch einen Prozess der Abstraktion im menschlichen Intellekt. Der Verstand erkennt die Quantität in den materiellen Dingen und abstrahiert von deren individueller Materie und ihren sinnlichen Eigenschaften. Er erfasst die Zahl als allgemeine Form, z.B. die Zweiheit unabhängig davon, ob es sich um zwei Äpfel, zwei Bäume oder zwei Ideen handelt. Diese abstrahierte Zahl existiert dann im Verstand als universelles Konzept oder intelligible Form. Sie ist ein Produkt des menschlichen Denkens, aber kein bloß subjektives Hirngespinst, da sie ihren Ursprung in der Realität hat.

In Bezug auf die Unendlichkeit akzeptiert Thomas die potenzielle Unendlichkeit, verstanden als ein Prozess des „Immer-weiter-gehen-Könnens“ (z.B. eine Linie, die man immer weiter teilen kann, oder eine Zahl, zu der man immer eine größere Zahl addieren kann). Eine aktual unendliche Menge (eine unendlich große Menge von Objekten, die gleichzeitig existieren) lehnt Thomas jedoch als in der materiellen Welt nicht existent ab. Dies hängt eng mit seinem Gottesbegriff zusammen, da nur Gott selbst als aktual unendlich angesehen wird. Das Konzept der aktualen Unendlichkeit war für Thomas in der Welt der Mathematik oder Natur nicht sinnvoll.

Obwohl Mathematik eine eigenständige Wissenschaft ist, diente sie Thomas auch als Hilfswissenschaft für philosophische und theologische Überlegungen. Ihre Klarheit und Gewissheit konnten als Vorbild für logisches Denken dienen. Dies war ein wichtiger Grund, warum Mathematik in den europäischen Universitäten als Standardbestandteil der freien Künste etabliert wurde.

Nikolaus von Kues (Cusanus, 1401 – 1464)

Nikolaus von Kues, auch bekannt als Cusanus, war ein deutscher Philosoph, Theologe, Kardinal und Mathematiker in der Zeit des Übergangs zwischen Spätmittelalter und Frühneuzeit. Seine Mathematikphilosophie ist tief in seinem gesamten metaphysischen und theologischen Denken verwurzelt und eng mit seinen Schlüsselkonzepten der „Docta Ignorantia“ (belehrte Unwissenheit) und der „Coincidentia Oppositorum“ (Zusammenfall der Gegensätze) verbunden.

Für Cusanus ist Mathematik weit mehr als ein Werkzeug zur Beschreibung der Welt; sie ist ein Symbol und ein Weg zur Annäherung an das Göttliche und Unendliche. Ihre Bedeutung ist viel größer als bei Thomas. Cusanus sah in mathematischen Figuren und Operationen Analoga und Symbole für Gott und das Unendliche. Da Gott das schlechthin Unendliche und das Eine ist, kann er nicht direkt von der endlichen menschlichen Vernunft erfasst werden.

Die Mathematik bietet jedoch Modelle, um sich der Unendlichkeit annähern zu können. Ein zentrales Beispiel ist das Verhältnis von Kreis und Vieleck: Je mehr Seiten ein Vieleck hat, desto mehr nähert es sich einem Kreis an. Im Unendlichen, so Cusanus, würden Vieleck und Kreis zusammenfallen. Dieser „Zusammenfall der Gegensätze“ (Coincidentia Oppositorum) ist ein Schlüsselprinzip seiner Metaphysik und wird in der Mathematik anschaulich gemacht. Ein weiteres Beispiel ist die unendliche Gerade, die im Unendlichen auch ein Kreis sein kann, da sich alle Unterscheidungen im Unendlichen aufheben.

Cusanus betont, dass die menschliche rationale Erkenntnis, die durch Vergleiche und Messungen funktioniert, an ihre Grenzen stößt, wenn es um das Unendliche geht. Zwischen dem Endlichen (menschliche Erkenntnis, materielle Welt) und dem Unendlichen (Gott) besteht kein Vergleich („nulla proportio“). Daher können wir Gott nicht durch logisches Denken vollständig erfassen. Die Mathematik, obwohl sie uns hilft, uns dem Unendlichen zu nähern, führt uns letztlich zur Erkenntnis unserer eigenen begrenzten Erkenntnisfähigkeit. Dies ist die „belehrte Unwissenheit“ (Docta Ignorantia): das Wissen darum, dass wir das Größte nicht wirklich wissen können.

Der Mensch, als „alter deus“ (zweiter Gott), schafft seine eigene Welt der Begriffe und Zahlen, die ein Abbild der göttlichen Ordnung sind, aber niemals mit dieser identisch sein können. Er sieht dann, dass die Objekte der Mathematik erschaffen werden, in Analogie dazu, wie Gott die Welt erschaffen hat. Der Mensch schafft mathematische Objekte, die natürlich nicht identisch sind mit denen Gottes, aber der Mensch ist ein Abbild Gottes und kann daher auch Dinge erschaffen. Die menschliche Mathematik ist daher ein Weg, sich dem Göttlichen anzunähern, aber sie führt letztlich zur Erkenntnis der unüberbrückbaren Distanz zwischen endlicher Erkenntnis und unendlichem Sein.

In dem 6. Kapitel seines Werkes „Liber de mente“ untersucht Cusanus den Begriff der Zahl. Er unterscheidet Zahlen, die Gegenstand der Mathematik sind und dem menschlichen Geist und Verstand entspringen, und Zahlen, die aus dem göttlichen Geist kommen. Die „menschlichen“ und mathematischen Zahlen sind Abbilder („ymago“) der „göttlichen“ Zahlen. „Du erkennst auch, dass Zahl und gezahltes Ding nicht verschiedenes sind; deshalb hast Du auch, dass zwischen dem göttlichen Geiste und den Dingen die Zahl nichts Mittleres ist, was ein eigenes wirkliches Sein hatte. Die Zahl ist Sache der Dinge“. „Allein der Geist zählt; ohne den Geist gibt es keine für sich bestehende Zahl“. Zahlen für den Menschen sind rationale Rekonstruktionen göttlich-geistiger Zahlen. Sie werden durch Vergleich und Unterscheidung aus den realen Dingen gewonnen, in denen die göttlichen Zahlen verwirklicht sind.

René Descartes (1596 – 1650)

René Descartes, ein französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler, war eine Schlüsselperson im Übergang zur Neuzeit. Er trug maßgeblich zur analytischen Geometrie bei, indem er Geometrie und Algebra zusammenführte, was zur Entwicklung des kartesischen Koordinatensystems führte.

In seinem Werk „Regulae ad directionem ingenii“ (Regeln zur Leitung des Geistes, veröffentlicht 1701) definiert Descartes den Gegenstand der Mathematik: Er ist das, „das nach Ordnung und Maß untersucht wird ohne Rücksicht darauf, ob dieses Maß in Zahlen oder Figuren, Sternen, Stimmen oder irgendwelchen anderen Objekten vorliegt“. Es soll also eine allgemeine Wissenschaft geben, die all das erklärt, was Untersuchungsobjekt nach Ordnung und Maß sein kann, ohne einem konkreten Bereich zugeschrieben werden zu müssen. Er schlägt vor, diese Wissenschaft „universelle Mathematik“ zu nennen, „weil sie all das enthält, dank derer andere Wissenschaften sich mathematisch nennen“. Sie sei die einfachste und klarste unter allen, da sie sich mit so klaren und einfachen Objekten beschäftigt, dass sie nichts voraussetzen muss, das durch Erfahrung unsicher sein könnte, und allein in rein verstandesmäßigen Ableitungen ihrer Folgerungen besteht.

Descartes beschäftigte sich intensiv mit der Frage, wie man zu Erkenntnis gelangt und verfasste dazu einen „Discours de la méthode“ (Abhandlung über die Methode). Er formulierte vier Regeln für die Methode:

1. Intuition: „niemals eine Sache für wahr anzunehmen, ohne sie als solche genau zu kennen, d. h. sorgfältig alle Übereilung und Vorurteile zu vermeiden und nichts in mein Wissen aufzunehmen als das, was sich so klar und deutlich darbot, dass ich keinen Anlass hatte, es in Zweifel zu ziehen“.
2. Analyse: „jede zu untersuchende Frage in so viel einfachere aufzulösen, als es möglich und zur besseren Beantwortung erforderlich war“. Dies bedeutet, Probleme in kleinere Teilprobleme zu zerlegen.
3. Synthese/Deduktion: „in meinem Gedankengang die Ordnung festzuhalten, dass ich mit den einfachsten und leichtesten Gegenständen begann und nur nach und nach zur Untersuchung der verwickelten aufstieg, und die gleiche Ordnung auch in die Dinge selbst zu übernehmen selbst dann, wenn einmal das Eine nicht von Natur aus dem Anderen vorausgeht“.
4. Enumeration/Vollständigkeit: „alles vollständig zu registrieren und im Allgemeinen zu überschauen, um mich gegen jedes Übersehen zu sichern“. Descartes‘ Philosophie wurde oft kritisiert, doch seine Betonung einer systematischen wissenschaftlichen Vorgehensweise war wegweisend.

Blaise Pascal (1623 – 1662)

Blaise Pascal, ein französischer Mathematiker, Physiker, Literat und christlicher Philosoph, ist bekannt für seine Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine philosophischen „Pensées“ (Gedanken). Er formulierte die Erkenntnis über die Unendlichkeit der Zahlenreihe: „wir wissen, dass es falsch ist, dass die Reihe der Zahlen endlich ist, also es ist wahr, dass die Unendlichkeit in der Zahl existiert“. Er war einer der ersten, der nachweislich festgehalten hat, dass unendliche Mengen existieren können.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz, ein deutscher Philosoph und Universalgelehrter, war eine der bedeutendsten Figuren der Aufklärung. Er ist bekannt für seine Beiträge zur Infinitesimalrechnung.

In seinen „Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand“ (Viertes Buch, Kapitel II) beschreibt Leibniz, dass der Geist oft Vorstellungen nicht unmittelbar verbinden, vergleichen oder in unmittelbare Beziehung setzen kann. Dies nötigt ihn, „sich anderer vermittelnder Vorstellungen (einer oder mehrerer) zu bedienen, um die Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung, welche gesucht wird, zu entdecken, und dies nennt man eben schliessen“.

Leibniz‘ Philosophie ist wesentlich durch die Unterscheidung von Vernunftwahrheiten und Tatsachenwahrheiten geprägt:

• Vernunftwahrheiten: Diese sind notwendig, und ihre Negationen sind unmöglich, da sie widersprüchlich wären. Ihre Wahrheit wird von logischen Gesetzen garantiert. Sie stützen sich nicht auf Tatsachen und betreffen auch keine Tatsachen. Sie betreffen den Bereich der Möglichkeit und sind nicht nur in der real existierenden Welt, sondern in allen „möglichen Welten“ gültig. Mathematische Axiome und Sätze sind für Leibniz Vernunftwahrheiten, also notwendig und ewig, und beziehen sich nicht auf Tatsachen.
• Tatsachenwahrheiten: Diese sind zufällig, und ihre Verneinungen sind möglich. Sie stützen sich auf Tatsachen und können von diesen bestätigt oder widerlegt werden. Sie sind allein in der existierenden Welt gültig. Ein Beispiel wäre: „Die Sonne scheint“. Die Negation davon („Die Sonne scheint nicht“) könnte in einer anderen möglichen Welt wahr sein, während die Negation einer Vernunftwahrheit immer falsch ist.

Leibniz postulierte, dass „Dum Deus calculat et cogitationem exercet, fit mundus“ (Während Gott rechnet und Gedanken ausführt, entsteht die Welt). Dies unterstreicht die Idee, dass die mathematische Ordnung der Welt auf einem göttlichen Akt des Denkens basiert.

Immanuel Kant (1724 – 1804)

Immanuel Kant, ein deutscher Philosoph der Aufklärung, hatte einen bedeutenden Einfluss auf die Philosophie und prägte die Mathematikphilosophie für die folgenden 200 Jahre. Kant selbst war kein Mathematiker und hatte nach eigenen Angaben keine tiefergehenden Kenntnisse der fortgeschrittenen Mathematik seiner Zeit (wie Analysis oder Stochastik), sondern konzentrierte sich hauptsächlich auf Geometrie und Arithmetik.

Kant unterschied verschiedene Urteilstypen:

• Analytische Urteile: Zergliedernde Aussagen, vergleichbar mit Leibniz‘ Vernunftwahrheiten.
• Synthetische Urteile: Aussagen, die Begriffe zusammenfügen. Sie entsprechen in etwa Leibniz‘ Tatsachenwahrheiten.
• Empirische Urteile (a posteriori): Durch Erfahrung gewonnen (z.B. „Diese Blume ist rot“, „Alle Raben sind schwarz“).
• Nichtempirische Urteile (a priori): Unabhängig von Erfahrung.

Kant fasste alle mathematischen Sätze der reinen Mathematik als intuitive synthetische Urteile a priori auf. Sie sind reine Produkte der Vernunft und besitzen apodiktische Gewissheit (absolute Notwendigkeit), ohne auf Erfahrungsgründen zu beruhen. Sie müssen ihren Begriff zuvor in der (reinen) Anschauung darstellen, ohne die sie keinen einzigen Schritt tun kann. Ihre Urteile sind jederzeit intuitiv, im Gegensatz zur Philosophie, die sich mit diskursiven Urteilen aus bloßen Begriffen begnügt.

Um diese Thesen zu verstehen, müssen die apriorischen Formen erläutert werden, die Kant unseren Anschauungen unterstellt. Kant unterschied zwei Arten der Sinnlichkeit und damit zwei apriorische Formen der Anschauung:

• Raum: Die Form der Vorstellungen, die durch die fünf äußeren Sinne (Sehen, Hören, Riechen, Schmecken, Tasten) gegeben sind. Der Raum ist die Grundlage der Geometrie, genauer gesagt der räumlichen Form unserer Anschauungen, des Anschauungsraums.
• Zeit: Die Form der Vorstellungen, die uns durch den inneren Sinn (Introspektion, d.h. die Wahrnehmung eigener mentaler Zustände/Vorgänge) gegeben ist. Die Zeit ist auch eine Form der Vorstellungen der äußeren Sinne, da uns diese Vorstellungen ebenfalls introspektiv gegeben sind. Als Ganzes sind Raum und Zeit damit die zwei Formen der Anschauung. Die Grundlage der Arithmetik ist für Kant die Zeit, genauer genommen die zeitliche Form unserer Anschauungen, also der Anschauungszeit. Die Sukzession der Zeitpunkte erlaubt das Zählen, und Zählen soll die natürlichen Zahlen, also den Gegenstand der Arithmetik, konstituieren.

Die Zahl ist das „reine Schema“ des Verstandesbegriffs der Quantität, d.h. die Vorstellung, „die die sukzessive Addition von Einem zu Einem (gleichartigen) zusammenfasst“. Arithmetische Sätze sind demnach synthetische Urteile a priori. Kants Philosophie war für die Mathematikphilosophie der folgenden Jahrhunderte maßgeblich, da sie den Ton angab für Diskussionen über die Natur mathematischen Wissens und seine Beziehung zu menschlicher Erkenntnis und Erfahrung.