András Bátkai's Weblog

Heute setzen wir unsere Einführung in die Philosophie der Mathematik fort, die wir letzte Woche begonnen haben. Letzte Woche haben wir uns mit der Geschichte der Mathematik von den Pythagoreern bis Kant beschäftigt. Heute werden wir die dazwischenliegenden Jahrhunderte überspringen und uns direkt den wichtigsten Positionen in der Philosophie der Mathematik widmen, die es heute gibt.

Die Schwierigkeit besteht darin, dass jede dieser Positionen sich auf das konzentriert, was sie für wesentlich hält. Meiner Meinung nach enthalten sie alle viel Wahrheit, aber jede Position kann auch kritisiert werden. Was wir letztendlich von diesen Positionen als richtig erachten, ist eine ziemlich persönliche Entscheidung, die von unseren eigenen Erfahrungen und unserem Weltbild abhängt.

Wenn man von der Philosophie der Mathematik spricht, spricht man eigentlich von Wissenschaftsphilosophie. Es geht um sehr spezifische Fragen, die wir letzte Woche bereits angesprochen haben, aber ich möchte sie noch einmal zusammenfassen.

Drei zentrale Fragen der Philosophie der Mathematik

1. Ontologische Fragen: Die Seinsweise mathematischer Objekte

• Existieren mathematische Objekte „wirklich“ und unabhängig von einer konkreten Verwendung? Wenn ja, in welchem Sinne?
• Was bedeutet es überhaupt, sich auf ein mathematisches Objekt zu beziehen?
• Welchen Charakter haben mathematische Sätze?
• Welche Beziehungen bestehen zwischen Logik und Mathematik?

2. Epistemologische Fragen: Der Ursprung des mathematischen Wissens

• Was ist die Quelle und das Wesen der mathematischen Wahrheit?
• Welches sind die Bedingungen der mathematischen Wissenschaft?
• Welches sind grundsätzlich ihre Forschungsmethoden?
• Welche Rolle spielt dabei die Natur des Menschen?

3. Verhältnis von Mathematik und Realität

• Welche Beziehung besteht zwischen der abstrakten Welt der Mathematik und dem materiellen Universum?
• Ist Mathematik in der Erfahrung verankert, und wenn ja, wie?
• Wie kommt es, dass Mathematik „auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt“ (Albert Einstein)?
• In welcher Weise erlangen Konzepte wie Zahl, Punkt, Unendlichkeit ihre über den innermathematischen Bereich hinausreichende Bedeutung?

Die dritte Frage ist oft eine Konsequenz aus den ersten beiden, war aber oft ein Prüfstein für verschiedene Theorien.

Es gibt eine Menge verschiedener Positionen, die man vorstellen könnte. Ich werde einige der meiner Meinung nach populärsten vorstellen, aber es könnte sein, dass jemand anderes eine andere Auflistung machen würde. Beginnen wir mit dem Realismus.

Realismus (Platonismus)

Der Realismus, in der Philosophie der Mathematik auch als Platonismus bekannt, ist eine Position, die besagt, dass mathematische Objekte (wie Zahlen, Mengen, Funktionen, geometrische Figuren) eine objektive, vom menschlichen Bewusstsein und menschlicher Sprache unabhängige Existenz besitzen. Mathematische Sätze sind demnach wahr oder falsch, weil sie diese unabhängige Realität korrekt oder inkorrekt beschreiben.

Der berühmteste Vertreter des Realismus ist Platon. Platon postulierte eine Welt der ewigen, unveränderlichen Ideen, zu denen auch mathematische Objekte gehören. Diese Art von Realismus ist immer wieder zurückgekommen, und gerade Platon spielt eine ganz wesentliche Rolle bei unserer Vorstellung von mathematischen Objekten. Unser heutiger Sprachgebrauch, wie wir über mathematische Objekte reden, bringt sehr viel von diesem Platonismus mit sich. Wenn ich zum Beispiel einen Punkt zeichne, ist das kein Punkt, sondern eine Realisierung einer Idee von einem Punkt, der irgendwo existiert.

Die Grundthesen des mathematischen Realismus sind:

• Ontologische These (Existenzthese): Es gibt mathematische Objekte. Diese Objekte sind nicht nur Konzepte in unseren Köpfen oder Symbole auf Papier, sondern sie existieren real – irgendwo.
• Unabhängigkeitsthese: Die Existenz dieser mathematischen Objekte ist unabhängig von menschlichen Gedanken, Überzeugungen, Sprachen oder sozialen Konstruktionen. Sie würden auch dann existieren, wenn es keine denkenden Wesen gäbe.
• Abstraktheitsthese: Mathematische Objekte sind in der Regel als abstrakt konzipiert. Das bedeutet, sie sind nicht räumlich-zeitlich verortet und nicht kausal wirksam (sie können nichts verursachen und werden von nichts verursacht).
• Erkenntnistheoretische These: Mathematisches Wissen ist eine Form der Entdeckung. Wenn Mathematiker eine Wahrheit beweisen, entdecken sie eine bereits bestehende Tatsache über diese abstrakten Objekte, anstatt sie zu erfinden oder zu konstruieren. Mathematiker sind wie Reisende in unbekannten Ländern, die etwas vorfinden, das schon immer da war – wie Marco Polo, der neue Länder beschrieben hat, die er vorgefunden hat.
• Wahrheitsthese: Mathematische Aussagen sind wahr oder falsch in Korrespondenz zu dieser unabhängigen mathematischen Realität. Zum Beispiel ist „2 + 2 = 4“ nicht wahr, weil wir es so definiert haben, sondern weil es die Beziehungen zwischen den Zahlen, die objektiv existieren, korrekt beschreibt.

Wichtige Vertreter des Realismus sind neben Platon auch Gottfried Wilhelm Leibniz. Obwohl er ein umfassendes philosophisches System hatte, finden sich in seinem Denken Elemente des Realismus bezüglich mathematischer Wahrheiten. In der modernen Zeit war der berühmte Logiker Kurt Gödel ein expliziter Verfechter des mathematischen Platonismus. Er argumentierte, dass mathematische Konzepte eine objektive Realität besitzen, ähnlich der physikalischen Realität, und dass wir eine Art „mathematische Intuition“ besitzen, um sie zu erfassen. Auch Roger Penrose, ein zeitgenössischer Physiker und Mathematiker, bekennt sich klar zum Platonismus in der Mathematik.

Logizismus

Der Logizismus, auch als logizistisches Programm bezeichnet, ist eine Position in der Philosophie der Mathematik, die besagt, dass die Mathematik ein Zweig der Logik ist oder, genauer gesagt, die gesamte Mathematik (insbesondere die Arithmetik) auf die Logik reduziert werden kann. Diese Bewegung war besonders zu Beginn des 20. Jahrhunderts einflussreich.

Die Kernideen des Logizismus sind:

• Alle mathematischen Begriffe können aus rein logischen Begriffen definiert werden. Das heißt, man benötigt keine spezifisch mathematischen Grundbegriffe, die über die Logik hinausgehen.
• Alle mathematischen Sätze können aus rein logischen Axiomen abgeleitet (bewiesen) werden. Das heißt, man benötigt keine spezifisch mathematischen Axiome, sondern die grundlegenden Wahrheiten der Logik reichen aus. Diese strenge Form war jedoch nicht möglich.

Ein wichtiges Argument für den Logizismus war die Sicherung der Gewissheit der Mathematik. Im 19. Jahrhundert begann man, die Mathematik zu axiomatisieren. Berühmte Beispiele waren die Axiomatisierung der reellen Zahlen (weil man bemerkte, dass komische Dinge herauskamen, wenn man mit Grenzwerten und anderen Sachen ungenau umging) und die Axiomatisierung der Geometrie (z.B. Hilberts Projekt). Die Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrien spielte hierbei eine wichtige Rolle. Der Logizismus versprach, diese Sicherheit zu gewährleisten, indem er die Mathematik auf die unumstößliche Gewissheit der Logik zurückführte. Zudem bot er eine Klärung der Natur mathematischer Wahrheit: Wenn Mathematik einfach nur erweiterte Logik ist, dann sind mathematische Wahrheiten logische Wahrheiten – also analytisch, a priori und notwendig wahr.

Der berühmteste Vertreter und Begründer des Logizismus war der Logiker Gottlob Frege. In seinem Werk „Grundlagen der Arithmetik“ (1884) versuchte er, die Arithmetik aus logischen Grundgesetzen zu entwickeln. Er definierte Zahlen als Mengen von Begriffen, die eine bestimmte Anzahl von Elementen unter sich fallen haben.

Freges System wurde jedoch durch die Entdeckung der Russellschen Antinomie (ein Paradoxon in der naiven Mengenlehre) erschüttert. Bertrand Russell zeigte, dass Freges „Grundgesetz V“ (das die Existenz von Mengen zu jedem Begriff garantierte) zu einem Widerspruch führte, was die gesamte logizistische Grundlegung der Arithmetik infrage stellte. Angenommen, man bildet die Menge R aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Dann stellt sich die Frage, ob R ein Element von R ist oder nicht, was zu einem Widerspruch führt.

Bertrand Russell und Alfred North Whitehead versuchten, das logizistische Programm in ihrem monumentalen Werk „Principia Mathematica“ (1910-1913) zu retten. Sie entwickelten eine ausgefeilte Theorie der Typen, um die Russellsche Antinomie zu vermeiden. Obwohl sie große Teile der Mathematik aus der Logik ableiten konnten, mussten sie dennoch einige „nicht-logische“ Axiome einführen (z.B. das Axiom der Unendlichkeit und das Axiom der Reduzierbarkeit), was eine vollständige Reduktion auf rein logische Axiome problematisch machte.

Der klassische Logizismus in seiner ursprünglichen Form ist gescheitert. Insbesondere Kurt Gödels Unvollständigkeitssätze (1931) zeigten, dass jedes formale System, das stark genug ist, die elementare Arithmetik zu enthalten, entweder unvollständig (es gibt wahre Sätze, die nicht bewiesen werden können) oder widersprüchlich ist. Dies untergrub die Hoffnung auf eine vollständige und widerspruchsfreie Axiomatisierung der gesamten Mathematik, die aus rein logischen Prinzipien abgeleitet werden könnte. Für die Leute, die daran gehofft hatten, war das eine große Erschütterung.

Trotz seines Scheiterns hatte der Logizismus einen enormen Einfluss auf die Entwicklung der modernen Logik und der Grundlagenforschung in der Mathematik. Die von Frege, Russell und Whitehead entwickelten logischen Systeme und Notationen sind bis heute grundlegend für die mathematische Logik und Informatik. Der Gedanke, dass Mathematik und Logik tief miteinander verbunden sind, bleibt ein wichtiges Thema in der Philosophie der Mathematik.

Formalismus

Der Formalismus vertritt die Auffassung, dass Mathematik primär ein formales System von Symbolen und Regeln ist. Mathematische Aussagen sind demnach keine Beschreibungen einer unabhängigen Realität (wie im Realismus/Platonismus) und auch keine Konstruktionen des menschlichen Geistes (wie im Intuitionismus), sondern sinnlose Zeichenreihen, deren Bedeutung allein in der Befolgung bestimmter Regeln innerhalb des Systems liegt.

Mathematische Theorien bestehen aus einer Sammlung von Symbolen (Zeichen) und Formeln (Zeichenreihen) sowie einem System von Regeln (Axiome und Schlussregeln) für die Manipulation dieser Symbole. Die „Bedeutung“ mathematischer Ausdrücke liegt nicht in einer Referenz auf eine externe Realität, sondern in ihrer Verwendbarkeit innerhalb des formalen Systems. Zahlen sind keine „Dinge“, sondern bloße Zeichen wie „1“, „2“, „+“ usw.. Mathematiker sind wie Spieler, die nach festgelegten Regeln Zeichen auf Papier bewegen. Das Ergebnis eines Beweises ist eine gültige Zeichenreihe, die nach den Regeln aus den Axiomen abgeleitet wurde. Dies wird oft als spielerisch und kreativ empfunden.

Das oberste Ziel des formalistischen Programms, insbesondere von David Hilberts Programm, war es, die Widerspruchsfreiheit (Konsistenz) von mathematischen Theorien zu beweisen. Wenn ein System widerspruchsfrei ist, kann man innerhalb dieses Systems nicht sowohl eine Aussage als auch deren Negation ableiten. Dieser Beweis der Konsistenz sollte mit finitistischen Methoden (also Methoden, die nur endliche Schritte und direkt einsichtige, konkrete Operationen erlauben) erbracht werden. Damit wollte Hilbert eine sichere Grundlage für die gesamte Mathematik schaffen, auch für Bereiche, die transfinite (unendliche) Konzepte verwenden, die als problematisch angesehen wurden.

Der Formalismus trennt oft zwischen der formalen Mathematik (dem Spiel mit Symbolen) und der inhaltlichen Mathematik oder „Anwendung“ (der Interpretation dieser Symbole in der realen Welt oder im menschlichen Denken). Die philosophische Betrachtung konzentriert sich auf die formale Struktur. Es wird nicht geleugnet, dass Mathematiker oft eine intuitive Vorstellung oder „Bedeutung“ mit ihren Symbolen verbinden; diese ist aber nicht Teil der strengen formalistischen Definition der Mathematik.

Obwohl Hilberts ursprüngliches Programm in seiner radikalen Form als gescheitert gilt (insbesondere aufgrund von Gödels Unvollständigkeitssätzen), hatte der Formalismus einen tiefgreifenden und positiven Einfluss auf die Mathematik und die mathematische Logik:

• Entwicklung der mathematischen Logik: Er förderte die Entwicklung der formalen Logik, Modelltheorie und Beweistheorie.
• Axiomatische Methode: Die Bedeutung der axiomatischen Methode und der rigorosen Formalisierung in der Mathematik wurde stark betont und weiterentwickelt.
• Klarheit und Präzision: Die Forderung nach strenger Formalisierung hat zu einer immensen Klarheit und Präzision in der mathematischen Argumentation geführt. Dies kann als Vorteil angesehen werden, hat aber auch Nachteile.

Heute wird der reine Formalismus von nur wenigen Philosophen in seiner ursprünglichen Strenge vertreten. Viele würden die Mathematik zwar als formales System anerkennen, aber auch eine gewisse „Bedeutung“ oder „Interpretation“ zulassen, die über bloße Symbolmanipulation hinausgeht. Der Formalismus bleibt jedoch eine zentrale Referenzposition in der Philosophie der Mathematik. Diese Art von Formalismus hat stark dazu beigetragen, dass die Mathematik so breit anwendbar geworden ist. Je abstrakter Mathematik ist, desto breiter kann sie angewendet werden.

Intuitionismus

Im Gegensatz zum Realismus (der die objektive Existenz mathematischer Objekte postuliert) und zum Formalismus (der Mathematik als reines Symbolspiel betrachtet) betont der Intuitionismus die konstruktive und mentale Natur der Mathematik. Mathematische Objekte und Sätze existieren nicht unabhängig von einem denkenden Subjekt. Sie werden stattdessen aktiv vom menschlichen Geist konstruiert.

Ein mathematisches Objekt (z.B. eine Zahl) existiert nur, wenn es in einer endlichen Anzahl von Schritten konstruiert oder erzeugt werden kann. Dieser Konstruktionsprozess basiert auf einer Ur-Intuition der Zeit oder der natürlichen Zahlen, die L. E. J. Brouwer (dem Begründer dieser Richtung) als unmittelbar gegeben ansah (ähnlich Kants „reiner Anschauung“).

Die wichtigsten Personen, die mit dem Intuitionismus in Verbindung gebracht werden, sind Leopold Kronecker und L. E. J. Brouwer. Kronecker wird oft mit dem Zitat „Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott erschaffen. Alles andere ist Menschenwerk“ in Verbindung gebracht, was die intuitionistische Position widerspiegelt, dass natürliche Zahlen als grundlegende Intuition gegeben sind, aber alles andere vom menschlichen Geist geschaffen wird.

Eine der radikalsten und bekanntesten Unterschiede zur klassischen Mathematik und Logik ist die Ablehnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (Tertium non datur). Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt, dass eine Aussage entweder wahr oder falsch ist. Für den Intuitionismus ist dies nicht immer der Fall. Eine Aussage ist nur dann wahr, wenn sie konstruktiv bewiesen werden kann. Eine Aussage ist falsch, wenn ihre Negation konstruktiv bewiesen werden kann. Wenn jedoch weder P noch ¬P konstruktiv bewiesen werden kann (was bei unendlichen Mengen oft der Fall ist), dann ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht anwendbar. Die Intuitionisten würden dann sagen, der Wahrheitswert der Aussage ist unbestimmt.

Ein weiteres zentrales Merkmal ist die Ablehnung des Aktual-Unendlichen. Der Intuitionismus akzeptiert nur die potentielle Unendlichkeit (z.B. die Möglichkeit, immer größere natürliche Zahlen zu bilden oder eine Strecke immer weiter zu teilen). Die aktual unendliche Menge (eine „fertige“, unendlich große Ansammlung von Objekten, wie sie in der klassischen Mengenlehre verwendet wird) wird abgelehnt, weil eine solche Menge nicht in einer endlichen Anzahl von Schritten konstruiert werden kann.

Die Ablehnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten und des Aktual-Unendlichen führt dazu, dass weite Teile der klassischen Mathematik im Intuitionismus nicht gelten oder neu formuliert werden müssen. Viele Existenzbeweise in der klassischen Mathematik sind nicht-konstruktiv (z.B. indirekte Beweise, die die Existenz eines Objekts beweisen, indem man annimmt, es existiere nicht, und dies zu einem Widerspruch führt). Solche Beweise sind im Intuitionismus nicht akzeptabel, es sei denn, sie können in einen konstruktiven Beweis umgewandelt werden, der tatsächlich eine Methode zur Konstruktion des Objekts liefert.

Obwohl der Intuitionismus nur eine Minderheitsposition in der mathematischen Gemeinschaft darstellt, hatte er einen bedeutenden Einfluss:

• Er zwang Mathematiker, kritisch über die Grundlagen ihrer Disziplin und die Natur des Beweises nachzudenken.
• Er inspirierte die Entwicklung des Konstruktivismus in der Mathematik, einer breiteren Bewegung, die ähnliche Prinzipien der Konstruierbarkeit und Endlichkeit betont.
• Er hat zu wichtigen Entwicklungen in der Logik und Informatik geführt, da konstruktive Beweise oft Algorithmen oder Berechnungsverfahren entsprechen.

Für den Intuitionisten ist Mathematik eine lebendige, schöpferische Tätigkeit des Geistes, bei der mathematische Objekte erst durch den Akt des Konstruierens ins Dasein gerufen werden. Dies spiegelt den Gedanken wider, was wir bei Nikolaus von Kues hatten, dass Mathematik etwas Göttliches im Menschen widerspiegelt, so wie Gott die Welt erschaffen hat.

Mathematischer Konstruktivismus

Konstruktivismus ist ein breiterer Begriff, der eine Familie von Ansätzen umfasst, die alle die Idee der Konstruierbarkeit betonen, aber nicht unbedingt alle spezifischen metaphysischen oder logischen Restriktionen des Intuitionismus übernehmen.

• Breitere philosophische Grundlagen: Konstruktivismus ist nicht an Brouwers spezifische Ur-Intuition gebunden. Er kann verschiedene Begründungen haben, von denen einige pragmatischer oder sogar sprachphilosophischer Natur sind. Es geht darum, dass mathematische Objekte durch effektive Prozesse oder Algorithmen erzeugt werden müssen.
• Betonung der Konstruktivität: Das Hauptprinzip ist, dass mathematische Objekte und Beweise konstruktiv oder algorithmisch realisierbar sein müssen. Das bedeutet, dass man eine explizite Methode zur Generierung oder Verifizierung angeben muss.
• Flexibler bezüglich des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten: Während alle Konstruktivisten nicht-konstruktive Beweise vermeiden, die nicht auf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten beruhen, gehen nicht alle so weit wie Brouwer, den Satz explizit als ungültig zu erklären. Einige Konstruktivisten akzeptieren eine „gemäßigtere“ intuitionistische Logik oder verwenden sogar klassische Logik für bestimmte Teile der Mathematik, solange die Existenzbeweise konstruktiv sind.
• Vielfalt der Ansätze: Es gibt verschiedene Schulen des Konstruktivismus, wie z.B. den Erlanger Konstruktivismus (Paul Lorenzen), der sich auf operative und dialogische Beweistheorie konzentriert, oder den russischen Konstruktivismus, der eine engere Verbindung zur Berechenbarkeitstheorie aufweist.
• Fokus auf Berechenbarkeit und Algorithmen: Im modernen Konstruktivismus gibt es eine starke Verbindung zur Theorie der Berechenbarkeit. Ein Objekt existiert, wenn es berechenbar ist, ein Beweis ist gültig, wenn er als Algorithmus interpretiert werden kann. Im Allgemeinen wird der Konstruktivismus heutzutage eher auf einer praktischeren Ebene gelebt, sodass man für Sätze oder Probleme solche Lösungen sucht, die wirklich zum Beispiel programmierbar sind oder die man am Computer realisieren kann, und nicht nur Existenzbeweise durch Widersprüche.

Zusammenfassend lässt sich der Unterschied zwischen Intuitionismus und Konstruktivismus wie folgt darstellen:

Merkmal	Intuitionismus (Brouwer)	Konstruktivismus (allgemein)
Philosophische Basis	Spezifische Ur-Intuition der Zeit; mentale Konstruktion des individuellen Geistes.	Effektive Konstruierbarkeit; kann breitere Grundlagen haben (z.B. algorithmisch, operativ).
Satz vom ausgeschl. Dritten	Explizite und fundamentale Ablehnung (ist nicht immer gültig).	Vermeidet nicht-konstruktive Beweise; lehnt ihn nicht immer explizit in allen Fällen ab, aber ignoriert ihn oft.
Aktual-Unendliches	Klare Ablehnung; nur potentielle Unendlichkeit.	Tendiert zur Ablehnung, aber Interpretationen können variieren.
Logik	Intuitionistische Logik ist Folge der mathematischen Tätigkeit.	Intuitionistische Logik oft als Grundlage verwendet, aber nicht immer mit Brouwers Metaphysik verbunden.
Extremität	Radikaler und philosophisch restriktiver.	Breiterer Überbegriff; kann moderatere Positionen einschließen.

Fiktionalismus

Der Fiktionalismus in der Philosophie der Mathematik ist eine Position, die besagt, dass mathematische Theorien nützliche Fiktionen sind und mathematische Objekte nicht wirklich existieren. Im Gegensatz zum Realismus, der an die objektive Existenz von Zahlen und anderen mathematischen Entitäten glaubt, oder dem Intuitionismus, der sie als mentale Konstruktionen betrachtet, argumentiert der Fiktionalismus, dass mathematische Aussagen nicht im Sinne einer wahren Beschreibung einer Realität zu verstehen sind.

Die zentralen Thesen des Fiktionalismus sind:

• Nicht-Existenz mathematischer Objekte: Die zentrale These des Fiktionalismus ist, dass Entitäten wie Zahlen, Mengen oder Funktionen keine eigene, unabhängige Existenz haben. Wenn ein Mathematiker über „die Zahl 5“ spricht, ist das ähnlich, wie wenn jemand über „Einhorn“ spricht – es gibt keine Entsprechung in der Realität.
• Mathematik als nützliche Fiktion: Obwohl mathematische Objekte nicht existieren, sind mathematische Theorien dennoch extrem nützlich. Sie dienen als Werkzeuge, um die Welt zu modellieren, wissenschaftliche Theorien zu formulieren und praktische Probleme zu lösen. Die Mathematik bietet eine kohärente und effektive Sprache, um Muster und Beziehungen in der Welt zu beschreiben, auch wenn ihre eigenen „Objekte“ fiktiv sind.
• Wahrheit im Sinne von „Wahrheit in der Fiktion“: Mathematische Aussagen sind nicht „wahr“ im Sinne einer Korrespondenz mit einer externen Realität. Stattdessen sind sie „wahr in der Fiktion“ oder „wahr gemäß der Theorie“. Das bedeutet, sie sind korrekte Ableitungen oder konsistente Aussagen innerhalb des mathematischen Systems, das als Fiktion betrachtet wird. Zum Beispiel ist „2+2=4“ wahr innerhalb der arithmetischen Fiktion, nicht weil es auf eine reale Beziehung zwischen abstrakten Objekten verweist.
• Ablehnung des ontologischen Engagements: Fiktionalisten lehnen es ab, sich ontologisch auf die Existenz mathematischer Objekte festzulegen. Sie wollen die Nützlichkeit und den Erfolg der Mathematik erklären, ohne die Bürde tragen zu müssen, eine Erklärung für die Natur und Erkennbarkeit abstrakter Objekte liefern zu müssen. Dies umgeht das sogenannte „epistemologische Problem“. Es ist eine sparsamere Ontologie.

Der Fiktionalismus wird oft aus folgenden Gründen vertreten:

• Problem der ontologischen Verpflichtung (Okham’s Rasiermesser): Wenn wir die Existenz abstrakter mathematischer Objekte postulieren, müssen wir erklären, wie diese Objekte existieren und wie wir sie erkennen können. Der Fiktionalismus umgeht dieses Problem, indem er einfach leugnet, dass diese Objekte existieren.
• Probleme mit anderen Positionen: Der Fiktionalismus bietet eine Alternative zu den Problemen des Platonismus (wie erkennen wir abstrakte Objekte?) und des Intuitionismus (der zu restriktiv ist und große Teile der klassischen Mathematik ablehnt) oder des Formalismus (der Schwierigkeiten hat, die offensichtliche Anwendbarkeit der Mathematik zu erklären).
• Erklärung der Anwendbarkeit: Wenn Mathematik nur eine Fiktion ist, wie kann sie dann so erfolgreich auf die reale Welt angewendet werden? Fiktionalisten argumentieren, dass die mathematische Fiktion eine Struktur liefert, die gut auf die Strukturen der physikalischen Welt abbildbar ist. Die physikalischen Theorien, die wir entwickeln, nutzen die Mathematik als Rahmen, aber die Wahrheit der physikalischen Aussagen hängt nicht von der realen Existenz mathematischer Objekte ab.

Kritik am Fiktionalismus:

• Wenn mathematische Aussagen nicht im üblichen Sinne wahr sind, was bedeutet es dann, dass sie korrekt sind oder dass sie innerhalb der Fiktion „wahr“ sind? Kritiker bemängeln, dass dies die Natur mathematischer Gewissheit und Objektivität nicht ausreichend erklärt.
• Wie kann eine Fiktion so außerordentlich mächtig und präzise sein, um die reale Welt zu beschreiben, wenn sie keine ontologische Grundlage hat? Dies ist das sogenannte „Anwendbarkeitsproblem“ für Fiktionalisten.
• Für viele Mathematiker fühlt sich die Beschäftigung mit mathematischen Objekten nicht wie das Fabulieren von Fiktionen an, sondern wie das Entdecken von etwas, das bereits da ist.

Konventionalismus

Der Konventionalismus in der Philosophie der Mathematik ist die Ansicht, dass mathematische Wahrheiten nicht objektiv entdeckt, sondern durch Konventionen festgelegt werden. Das bedeutet, dass die grundlegenden Prinzipien, Axiome und Definitionen der Mathematik nicht auf einer tiefen Realität oder einer inhärenten logischen Notwendigkeit beruhen, sondern auf menschlichen Entscheidungen, Vereinbarungen oder Übereinkünften.

• Mathematische Wahrheiten sind analytisch oder definitorisch: Für den Konventionalisten sind mathematische Aussagen im Wesentlichen analytisch, was bedeutet, dass ihre Wahrheit allein aus der Definition ihrer Begriffe oder aus den Regeln eines formalen Systems folgt. Ein Satz wie „2+2=4“ ist wahr, weil wir die Symbole „2“, „4“, „+“ und „=“ sowie die Rechenoperationen so definiert haben, dass diese Aussage daraus folgt.
• Die Rolle der Wahl und Vereinbarung: Die grundlegenden Axiome und Regeln der Mathematik sind keine Beschreibungen einer externen Realität, sondern vielmehr Vereinbarungen darüber, wie wir mit bestimmten Symbolen umgehen wollen. Man könnte sich entscheiden, andere Axiome zu wählen, was zu einer anderen, aber ebenso gültigen mathematischen Theorie führen würde. Die Wahl der Konventionen ist oft pragmatisch – sie sind nützlich, konsistent und ermöglichen es uns, bestimmte Probleme zu lösen.
• Abgrenzung vom Realismus: Der Konventionalismus ist eine anti-realistische Position. Er lehnt die Vorstellung ab, dass mathematische Objekte eine unabhängige Existenz haben oder dass mathematische Wahrheiten eine tiefe, objektive Natur besitzen, die entdeckt werden muss.
• Flexibilität und Pluralismus: Da mathematische Systeme auf Konventionen beruhen, ist es möglich, verschiedene konsistente mathematische Systeme zu entwickeln. Die Wahl zwischen ihnen hängt nicht davon ab, welcher „wirklicher“ ist, sondern welche für bestimmte Zwecke nützlicher oder eleganter ist. Die Entstehung nicht-euklidischer Geometrien ist ein oft zitiertes Beispiel, das die konventionalistische Sichtweise stützt: Wenn die Axiome geändert werden, ergeben sich gültige, aber unterschiedliche Geometrien. Für die platonistische Position war es ein Problem, mit dieser Entstehung umzugehen.

Kritik am Konventionalismus:

• Der Anwendungsfall der Mathematik: Wenn mathematische Wahrheiten nur Konventionen sind, wie lässt sich dann ihre außerordentliche und oft überraschende Anwendbarkeit in der Naturwissenschaft erklären? Kritiker argumentieren, dass die Mathematik eine Struktur der Welt offenbaren muss, die über bloße menschliche Vereinbarungen hinausgeht.
• Der Ursprung der Konventionen: Woher kommen diese Konventionen? Sind sie willkürlich? Wenn nicht, worauf basieren sie dann? Wenn sie auf etwas Notwendigem basieren, untergräbt dies dann nicht die Idee der reinen Konventionalität?
• Die psychologische Realität des Mathematikerlebens: Für viele Mathematiker fühlt sich ihre Arbeit wie eine Entdeckung an, nicht wie eine Erfindung oder eine Vereinbarung. Der Konventionalismus scheint die Phänomenologie der mathematischen Praxis nicht vollständig zu erfassen.
• Die Einheit der Mathematik: Wenn alles Konvention ist, wie lässt sich dann die scheinbare Einheit und Kohärenz der verschiedenen mathematischen Disziplinen erklären?

Ein wichtiger Begründer des Konventionalismus ist der französische Mathematiker Henri Poincaré. Er war ein genialer Mathematiker und Philosoph, der sehr viel in Bereichen wie Geometrie und Differentialgleichungen gemacht hat.

Sozialkonstruktivismus

Die sozialkonstruktivistische Position in der Philosophie der Mathematik ist eine Strömung, die sich kritisch mit traditionellen Ansichten auseinandersetzt, die Mathematik als eine objektive, zeitlose und von Menschen unabhängige Wahrheit betrachten (wie z.B. der Platonismus). Im Gegensatz dazu argumentieren Sozialkonstruktivisten, dass mathematisches Wissen ein soziales und kulturelles Produkt ist, das von Menschen in Interaktion miteinander geschaffen wird. Dies ist eine Weiterentwicklung des Konventionalismus von Poincaré.

• Mathematik wird „erfunden“ oder „konstruiert“: Mathematische Konzepte, Theorien und Beweise entstehen durch menschliche Aktivität und sind an bestimmte historische, soziale und kulturelle Kontexte gebunden. Dies bedeutet, dass Mathematik nicht von vornherein existierte und nur darauf wartete, aufgedeckt zu werden. Sie ist vielmehr das Ergebnis kollektiver menschlicher Bemühungen, Probleme zu lösen und Bedeutungen zu schaffen.
• Soziale Interaktion und Konsensbildung: Mathematisches Wissen entsteht und entwickelt sich durch Kommunikation, Dialog und Konsensbildung innerhalb der mathematischen Gemeinschaft. Die Akzeptanz eines Beweises oder einer Theorie hängt von der Überzeugung anderer Mathematiker ab, ob das richtig ist oder falsch. Sprache und Symbole sind entscheidend für die Formung und Vermittlung mathematischen Wissens. Die Art und Weise, wie Mathematiker miteinander interagieren und Argumente austauschen, prägt die Entwicklung der Mathematik. So werden zum Beispiel die Konventionen für die Niederschrift eines Beweises an Studierende vermittelt.
• Fehlerbehaftet und revidierbar: Da Mathematik ein menschliches Produkt ist, ist sie fehlerbehaftet und revidierbar. Es gibt keine absolute Gewissheit im Sinne einer überzeitlichen, unumstößlichen Wahrheit. Konzepte und Beweise können im Laufe der Zeit kritisiert, verfeinert oder sogar verworfen werden.
• Intersubjektivität statt Objektivität: Die scheinbare Objektivität und Strenge der Mathematik ist das Ergebnis eines sozialen Prozesses der Überprüfung und Akzeptanz innerhalb einer Gemeinschaft, nicht eine inhärente Eigenschaft der mathematischen Objekte selbst. Anstelle einer von Menschen unabhängigen Objektivität sprechen Sozialkonstruktivisten von Intersubjektivität. Mathematische Erkenntnis wird als „objektiv“ angesehen, weil sie von einer Gemeinschaft von Subjekten geteilt und akzeptiert wird. Die Regeln der Mathematik, ihre Axiome und Schlussweisen, sind keine ewigen Gesetze, sondern wurden im Laufe der Geschichte etabliert und durch soziale Prozesse legitimiert.
• Kulturelle Einflüsse: Mathematische Entwicklung ist nicht losgelöst von kulturellen Einflüssen. Verschiedene Kulturen haben unterschiedliche mathematische Ansätze und Prioritäten entwickelt. Die heutige westliche Mathematik ist eine spezifische kulturelle Ausprägung.

Der Sozialkonstruktivismus steht im direkten Gegensatz zu:

• Realismus/Platonismus: Dieser glaubt an die unabhängige Existenz mathematischer Objekte und Wahrheiten, die entdeckt werden. Der Sozialkonstruktivismus lehnt dies explizit ab.
• Formalismus: Obwohl der Formalismus Mathematik als ein System von Symbolen und Regeln betrachtet, betont er oft die Konsistenz dieser Systeme ohne Notwendigkeit einer externen „Bedeutung“. Der Sozialkonstruktivismus fügt dem die soziale Dimension der Regelfindung und Akzeptanz hinzu.
• Intuitionismus/Konstruktivismus: Diese betonen die mentale Konstruktion von Mathematik durch das Individuum. Der Sozialkonstruktivismus erweitert dies um die soziale Dimension: Konstruktion findet nicht isoliert statt, sondern im Austausch und in der Aushandlung mit anderen.

Die sozialkonstruktivistische Position hat weitreichende Implikationen für das Verständnis der Mathematik, der Mathematikdidaktik und der Wissenschaft im Allgemeinen. Sie betont die menschliche, interaktive und dynamische Natur mathematischer Praxis und hinterfragt das Bild der Mathematik als eine reine, unantastbare und statische Wahrheit.