András Bátkai's Weblog

Ein Rückblick auf die Konferenz der slowenischen Mathematiker, 12.9.2025

Kürzlich hatte ich die Ehre, auf der Konferenz der slowenischen Mathematiker einen Plenarvortrag zum Thema „From Drill-and-Practice to Deliberate Practice: Fostering Deeper Mathematical Understanding“ zu halten. Als Professor für Mathematik an der PH Vorarlberg ist es mir ein besonderes Anliegen, die Brücke zwischen mathematischer Theorie und didaktischer Praxis zu schlagen. Mein Vortrag beleuchtete eine zentrale Frage, die uns alle beschäftigt: Wie können wir die oft als trocken empfundene Praxis in der Mathematik in eine intellektuell anregende und kreative Tätigkeit verwandeln?

Das Problem mit dem „Einüben“

Die traditionelle Vorstellung vom Üben in der Mathematik lässt sich gut mit einem musikalischen Witz vergleichen: „Wie komme ich in die Carnegie Hall?“ – „Üben, Üben, Üben!“. Doch was wäre die mathematische Entsprechung dazu? „Wie lerne ich Funktionentheorie?“

Timo Leuders hat es treffend formuliert: Üben ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für musikalische oder mathematische Leistung. Der Blick in alte Lehrbücher zeigt uns, was wir oft unter Üben verstehen: lange Listen gleichartiger Aufgaben, die sogenannten „grauen Päckchen“. Dieses mechanische Abarbeiten führt zu dem, was Leuders als „Lernen auf Vorrat“ bezeichnet – Fertigkeiten werden für eine Klassenarbeit trainiert und dann schnell wieder vergessen.

Deliberate Practice: Eine neue Perspektive

Die Expertiseforschung, insbesondere durch K. Anders Ericsson, hat uns ein neues Konzept geliefert: Deliberate Practice. Es geht hier nicht um gedankenlose Wiederholung, sondern um eine strukturierte, zielgerichtete Form des Übens. Die entscheidenden Komponenten sind:

• Klare Ziele: Das Ziel ist es, einen ganz bestimmten Aspekt der Leistung zu verbessern.
• Herausforderung: Die Aufgabe muss knapp über dem aktuellen Können des Lernenden liegen.
• Unmittelbares Feedback: Der Lernende muss sofortige Rückmeldung erhalten, um Fehler korrigieren zu können.
• Fokussierte Wiederholung: Die Wiederholung dient der Verfeinerung, nicht nur der Automatisierung.

Die Magie der kognitiven Aktivierung

Der Schlüssel, um diese Art von Übung im Mathematikunterricht umzusetzen, ist die kognitive Aktivierung. Es geht darum, Schülerinnen und Schüler mental zu aktivieren, statt sie nur äußerlich zu beschäftigen. Das „Wohin? Woher? Wie?“-Modell von Fauth und Leuders ist hier ein wertvoller Leitfaden:

• Wohin? (Die Ziele): Welche zentralen Konzepte sollen verstanden werden?
• Woher? (Das Vorwissen): Wie können wir an den vorhandenen Kenntnissen anknüpfen?
• Wie? (Die Prozesse): Wie regen wir anspruchsvolle Denkprozesse an?

Strategien für produktives Üben

Die Didaktik bietet uns konkrete Strategien, um Übungsaufgaben so zu gestalten, dass sie kognitive Aktivierung fördern:

1. Umkehraufgaben (Inverting Tasks): Anstatt die Lösung aus den gegebenen Daten zu berechnen, geben wir die Lösung vor und lassen die Schüler die Ausgangswerte finden. Dies fördert kreatives Denken und ein tieferes Verständnis der mathematischen Zusammenhänge.
   • Beispiel: Statt den Mittelwert von fünf Zahlen zu berechnen, fragen wir: „Gib fünf Zahlen an, deren Mittelwert 10 ist. Gibt es mehr als eine Lösung?“
2. Störaufgaben (Disturbance Tasks): Wir streuen bewusst Aufgaben in ein routiniertes Aufgabenpaket, die nicht mit dem Standardalgorithmus lösbar sind. So werden die Lernenden gezwungen, über die Grenzen des Verfahrens nachzudenken und nicht einfach nur zu rechnen.
   • Beispiel: In einer Liste von Additionsaufgaben mit verschiedenen Maßeinheiten, fügen wir eine Aufgabe wie „Addiere 300 m und 1.5 m2“ ein.
3. Muster finden und nutzen (Finding Patterns): Wir stellen Aufgaben so zusammen, dass ein dahinterliegendes Muster erkennbar wird. Dies regt Schülerinnen und Schüler dazu an, über Beziehungen und Verallgemeinerungen nachzudenken.
   • Beispiel: „Untersuche, wie sich die Lösungen der folgenden Päckchen verändern: (x+1)2+3, (x+2)2+3, (x+3)2+3,…“

Unser Projekt: Üben mit Erklärvideos

Diese theoretischen Überlegungen habe ich mit meiner Kollegin Brigitta Békési in einem praktischen Projekt umgesetzt. In unserem Kurs zur Linearen Algebra für Lehramtsstudierende haben wir die traditionellen Hausaufgaben durch die Erstellung von Erklärvideos ersetzt.

Die Studierenden mussten ihre Lösungswege nicht nur aufschreiben, sondern laut und bildlich erklären. Dies zwang sie, ihre Gedanken zu strukturieren, ihr Verständnis zu artikulieren und über die didaktischen Aspekte ihrer eigenen Erklärung nachzudenken. Dieses „Lernen durch Erklären“ ist eine der effektivsten Formen der kognitiven Aktivierung.

Die Ergebnisse unserer Begleitforschung waren vielversprechend: Die Studierenden empfanden die Aufgabe als kognitiv aktivierend, ihr mathematisches Selbstvertrauen stieg, und sie entwickelten eine höhere Medienkompetenz. Die individuellen Rückmeldungen zu den Videos ermöglichten eine intensivere Betreuung, die im traditionellen Unterricht oft zu kurz kommt.

Fazit: Üben ist eine kreative Tätigkeit

Der Vortrag hat gezeigt: Produktives Üben ist keine Zauberei, sondern eine bewusst gestaltete Lehr-Lern-Situation. Es geht nicht um die schiere Menge an gelösten Problemen, sondern um die Qualität der kognitiven Prozesse, die dabei angeregt werden.

Durch die Integration von Deliberate Practice und kognitiver Aktivierung können wir Üben von einer passiven Pflicht in eine aktive, kreative und zutiefst bereichernde Lernerfahrung verwandeln, die den Kern mathematischen Denkens trifft.

Vielen Dank an die Kolleginnen und Kollegen der Konferenz der slowenischen Mathematiker für die anregenden Diskussionen!

Literaturverweise

• Leuders, T. (2005). Intelligentes Üben selbst gestalten! Pädagogik, 11/05, 29-32.
• Rott, B. (2018). Kleine Änderung mit großer Wirkung: Produktives Üben durch Variation von Aufgaben. mathematik lehren, 209, 18-21.
• Lehtinen, E. et al. (2017). Cultivating mathematical skills: from drill-and-practice to deliberate practice. ZDM Mathematics Education, 49(5), 625-636.
• Fauth, B. & Leuders, T. (2022). Kognitive Aktivierung im Unterricht. IBBW.
• Bátkai, A. & Békési, B. (2022). Hausübungen mit Ton und Bild:
    Ein konstruktivistischer Ansatz in der Hochschullehre. 
    (2025). R&E-SOURCE, Nr. 12(2), S. 86-98. 
    https://doi.org/10.53349/re-source.2025.i2.a1433