András Bátkai's Weblog

Willkommen im Jahr 2026! Während wir uns alle gegenseitig ein „Frohes Neues Jahr“ wünschen, hat dieses Jahr aus mathematischer Sicht tatsächlich einen ganz besonderen Grund zur Freude. Denn 2026 ist offiziell eine „Fröhliche Zahl“ (im Englischen Happy Number).

Doch was macht eine Zahl eigentlich glücklich?

Was sind Fröhliche Zahlen?

Das Konzept der Fröhlichen Zahlen stammt aus der Zahlentheorie. Eine Zahl wird als „fröhlich“ bezeichnet, wenn sie durch folgenden Prozess irgendwann bei der 1 landet:

1. Nimm eine natürliche Zahl.
2. Ersetze sie durch die Summe der Quadrate ihrer Ziffern.
3. Wiederhole diesen Vorgang mit dem neuen Ergebnis.

Endet diese Folge schließlich bei der 1, ist die Zahl fröhlich. (Da ist, bleibt sie dann auch dort).

Endet die Folge jedoch in einer Endlosschleife, die nicht die 1 enthält, nennt man die Zahl eine „traurige“ oder „unglückliche“ Zahl.

Mehr dazu findet man hier auf Wikipedia.

Warum ist 2026 eine Fröhliche Zahl?

Lass uns den Test für unser aktuelles Jahr machen. Wir starten mit 2026 und quadrieren die einzelnen Ziffern:

• Schritt 1:

Nun machen wir mit der 44 weiter:

• Schritt 2:

Weiter mit der 32:

• Schritt 3:

Weiter mit der 13:

• Schritt 4:

Und schließlich:

• Schritt 5:

Da wir bei der 1 angekommen sind, ist bewiesen: 2026 ist eine Fröhliche Zahl! Das ist ein gutes Omen für das kommende Jahr, oder?

Unendliches Glück und der Kreislauf der 4

Vielleicht fragt man sich jetzt: Sind fröhliche Zahlen selten? Gehen sie uns irgendwann aus? Die gute Nachricht ist: Es gibt unendlich viele fröhliche Zahlen. Der Beweis dafür ist sogar ganz einfach. Denk nur an die Zahl 10, die 100 oder die 1000. Jede Zahl, die aus einer 1 und beliebig vielen Nullen besteht (also jede Zehnerpotenz ), ergibt gleich im ersten Schritt:

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Damit sind sie alle fröhlich – und da die Zahlenreihe unendlich ist, ist auch der Vorrat an „glücklichen“ Zahlen unerschöpflich.

Aber nicht jede Zahl hat dieses Glück. Wenn eine Zahl nicht bei der 1 landet, gerät sie in eine Endlosschleife. Das bekannteste Beispiel für eine solche „traurige Zahl“ (oder unhappy number) ist die 4. Schauen wir an, was passiert, wenn wir den Prozess mit ihr starten:

1. 
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7. 
8. 

Und zack – sind wir wieder am Anfang bei der 4. Wer einmal in diesem Zyklus landet, kommt nie wieder heraus und wird die 1 niemals erreichen. Zum Glück gehört 2026 nicht dazu!

Man kann übrigens beweisen, dass jede traurige Zahl in diesem Zyklus endet.

Weitere spannende Eigenschaften der Zahl 2026

Auch wenn die „Fröhlichkeit“ sicher die charmanteste Eigenschaft ist, hat 2026 für Zahlenfreunde noch mehr zu bieten:

• Es ist eine Halbprimzahl: 2026 ist das Produkt aus genau zwei Primzahlen. Sie lässt sich zerlegen in $2 \times 1013$. Da 1013 selbst eine Primzahl ist, gibt es keine weiteren Teiler außer 1, 2, 1013 und 2026 selbst.
• Sie ist quadratfrei: Da kein Teiler (außer der 1) eine Quadratzahl ist, gilt 2026 als quadratfreie Zahl.
• Binär: In der Sprache der Computer schreibt sich 2026 als 11111101010.

Egal ob wir uns für Mathematik begeistern oder einfach nur auf der Suche nach etwas Glück sind – ich hoffe, dass die positiven Eigenschaften dieser Zahl auf unser Jahr abfärben.

Ich wünsche all meinen Lesern ein gesundes, erfolgreiches und vor allem fröhliches Jahr 2026!