András Bátkai's Weblog

Auf der GDM Jahrestagung in Wuppertal hielt die renommierte Mathematikhistorikerin und Sinologin Karine Chemla einen faszinierenden Plenarvortrag, der gängige Annahmen der Mathematikgeschichte radikal auf den Kopf stellte. Im Zentrum stand eine pointierte Leitfrage: „Why should we rewrite the history of mathematical symbolism?“ (Warum sollten wir die Geschichte des mathematischen Symbolismus neu schreiben?). Ihr Ziel war es, die wahre Natur dieser Symbolik zu ergründen und aufzuzeigen, wie diese historische Erforschung uns neue didaktische Werkzeuge liefern könnte, um Algebra heute besser zu unterrichten.

Ein erweiterter Symbolbegriff und die eurozentrische Geschichtsschreibung

Eine zentrale und sehr weitreichende Idee des Vortrags ist es, bereits die Geschichte der dezimalen Stellenwertsysteme als fundamentalen Teil der Geschichte des mathematischen Symbolismus zu betrachten. Die große Stärke solcher positionellen Schreibweisen liegt darin, dass sie völlig unabhängig von der gesprochenen Sprache funktionieren.

Um zu zeigen, woher das heutige, oft verkürzte Narrativ stammt, warf Chemla einen Blick auf die frühe Historiographie. Sie verwies auf den französischen Gelehrten Edouard Biot (1835), der unter anderem chinesische, arabische und indische Texte untersuchte. Biot kam zu dem harten Urteil, dass die Verwendung von Buchstaben als Symbole für numerische Größen in diesen Kulturen schlichtweg nicht existiere. Er behauptete stattdessen, diese Erfindung sei „vollständig europäisch“ und allein Franciscus Vieta zuzuschreiben. In der Tat führte Vieta in seinem Werk In Artem Analyticem Isagoge (1591) die systematische Nutzung von Buchstaben für Rechenoperationen ein, indem er gezielt den Anfang des Alphabets für bekannte Größen und das Ende für Unbekannte nutzte.

Dass mathematische Repräsentationen jenseits von Buchstaben jedoch weitaus vielfältiger sind, zeigt ein Vergleich, der antike chinesische Prozeduren strukturell mit moderner französischer projektiver Geometrie gegenüberstellt. Hier drängt sich die Frage auf, ob Algebra historisch oft geometrisch gedacht wurde – und wie sich beispielsweise komplexe lineare Gleichungssysteme rein positionell in Form von diagrammatischen Algorithmen darstellen ließen.

Ein Perspektivwechsel: Franz Woepcke und die Quellen des Orients

Während Gelehrte wie Biot eine rein europäische Erfindung der Symbolik postulierten, präsentierte Chemla einen anderen historiographischen Ansatz. Im Zentrum stand dabei der Mathematikhistoriker Franz Woepcke (1826–1864). Woepcke erweiterte den Blick massiv auf nicht-europäische Quellen. In einer Publikation aus dem Jahr 1854 stützte er sich auf arabische Quellen und bezog zudem indische Werke mit ein.

Woepcke fasste den damaligen Wissensstand zusammen und stellte fest, dass die Algebra der Griechen und Inder bereits die Anfänge einer algebraischen Notation aufwies. So besaß der griechische Mathematiker Diophantos bereits spezifische Zeichen für die Unbekannte, deren Potenzen, für Konstanten sowie für die Subtraktion. Noch weiter gingen die indischen Algebraisten. Sie verfügten über Zeichen für eine beliebige Anzahl von Unbekannten und eine einheitlich anwendbare Notation für Potenzen. Dabei nutzten sie Silben als Symbole: „ya“ stand für die erste Unbekannte, „v“ für das Quadrat, „vv“ für das Quadrat des Quadrats (also x⁴) und „ru“ für den konstanten Term.

Besonders spannend ist, wie Woepcke das damalige Bild der arabischen Mathematik korrigierte. Zuvor gab es die fehlerhafte Annahme, die arabische Mathematik sei hinsichtlich der formalen mathematischen Notation hinter ihren Vorgängern zurückgeblieben. Woepcke konnte dies widerlegen, indem er neu erschlossene arabische Quellen, wie einen Traktat des Gelehrten al-Qalasadi aus dem 15. Jahrhundert, präsentierte. Diese zeigten hochkomplexe algebraische Notationen mit klaren Symbolen für Elemente, Potenzen und Konstanten.

Die Verflechtung von Symbolik, Positionierung und Algebra

Ein grundlegendes Problem in der Historiographie ist die tiefe Verflechtung zwischen der Geschichte des mathematischen Symbolismus und der Geschichte der Algebra an sich. Wie definiert man Algebra überhaupt? Oft wurde sie direkt durch das Vorhandensein von Symbolik definiert, die für viele Historiker die Grenze zwischen reiner Arithmetik und „echter“ Algebra markierte.

Im Gegensatz zu Woepcke, der sich auf arabische und indische Quellen stützte, widmet sich Chemla im nächsten Schritt intensiv den chinesischen Texten, gestützt unter anderem auf die Arbeiten des russischen Historikers Adolf Pawlowitsch Juschkewitsch. Juschkewitsch beschrieb explizit den Symbolismus der chinesischen Algebraiker des 13. Jahrhunderts und zeigte, dass diese komplexe Gleichungen nicht mit Buchstaben aufschrieben, sondern durch eine rein positionelle, tabellarische Notation. Die Stellung eines Zeichens in einem Raster gab seinen Wert (als Konstante, x, x² etc.) an.

Chemla argumentiert, dass diese Notationen mit Positionen ein integraler Bestandteil der mathematischen Praxis sind. Die chinesische Tradition reicht von frühen Manuskripten aus der Zeit um 200 v. Chr. bis zu Werken aus dem 13. Jahrhundert, in denen Mathematiker wie Qin Jiushao und Li Ye Algorithmen und komplexe tabellarische Anordnungen nutzten, um geometrische und algebraische Probleme diagrammatisch zu lösen.

Die Unabhängigkeit von der gesprochenen Sprache

Um die rein visuellen, diagrammatischen Praktiken weiter zu veranschaulichen, zieht Chemla ein Dunhuang-Manuskript aus dem späten 10. Jahrhundert heran. Dieses historische Dokument demonstriert eindrucksvoll ein dezimales Stellenwertsystem. Auf den Manuskripten finden sich tabellarische Anordnungen, die wie ein Multiplikationsraster funktionieren. Die Bedeutung einer Zahl ergab sich direkt aus ihrer Platzierung in einem spezifischen Layout, völlig losgelöst von einem Fließtext.

Diese Beobachtungen führen zu einem neuen, entscheidenden Kriterium: Mathematischer Symbolismus muss als die Geschichte rein schriftlicher Praktiken begriffen werden, die von der Schreibung der gesprochenen Sprache vollkommen unabhängig sind. Diese Erkenntnis teilt Chemla mit dem Gelehrten Charles Burnett. Burnett argumentiert, dass mathematische Notation sprachunabhängig und symbolisch ist und gerade keine Laute repräsentiert. Deshalb gibt es keine Notwendigkeit für unterschiedliche Notationen in verschiedenen Sprachen.

Bereits im Mittelalter gab es das Potenzial für eine weltweit verstandene mathematische Sprache. Die von den Indern erfundene symbolische Notation für Ziffern und die Null wurde von syrischen und arabischen Autoren übernommen und gelangte schließlich nach Westeuropa. Gelehrte unterschiedlichster Kulturen nutzten dieselbe Rechenmethode und teilten somit eine gemeinsame mathematische Sprache, die von Bagdad bis nach Europa verstanden wurde.

Diskursives Fazit: Was bedeutet das für die heutige Mathematikdidaktik?

Zum Abschluss schließt sich der Kreis zur Eingangsfrage des Vortrags: Wie kann uns die historische Beobachtung, dass all diese Notationen durch ihre Unabhängigkeit vom gesprochenen Wort charakterisiert sind, dabei helfen, Algebra heute besser zu lehren? Aus dieser erweiterten Perspektive auf den mathematischen Symbolismus ergeben sich hochspannende didaktische Impulse für das heutige Klassenzimmer:

• Befreiung von der „Wort-für-Wort-Übersetzung“: Oft wird Algebra so gelehrt, als müssten Schülerinnen und Schüler einen deutschen Satz wie Vokabeln in Buchstaben übersetzen. Wenn wir anerkennen, dass mathematische Symbolik historisch gerade nicht dazu da war, das gesprochene Wort abzubilden, sinkt der kognitive Druck. Algebra wird dann nicht als Fremdsprache gelehrt, sondern als eine eigenständige, strukturierende visuelle Praxis.
• Algebra als räumlich-visuelle Handlung: Die historischen chinesischen Quellen zeigen Berechnungen als Bewegungen innerhalb von Rastern. Wenn man Gleichungen so betrachtet, wird das Umstellen einer Formel zu einer geradezu physischen, räumlichen Operation (z. B. einen Term auf die andere Seite zu „schieben“) und nicht bloß zur Anwendung einer abstrakten Textregel. Das kommt insbesondere visuellen Lerntypen zugute.
• Das Stellenwertsystem als didaktischer Anker: Chemlas Leitidee ist es, das dezimale Stellenwertsystem selbst als vollwertige mathematische Symbolik zu betrachten. Das ist ein genialer didaktischer Hebel: Kinder lernen schon in der Grundschule, dass eine Ziffer je nach Position (Einer, Zehner, Hunderter) einen anderen Wert hat. Wenn man diesen positionellen Gedanken in die Algebra übernimmt (z. B. bei der Anordnung von Polynomen), knüpft das direkt an vorhandenes Wissen an. Abstrakte Algebra verliert ihren Schrecken, weil sie strukturell ähnlich funktioniert wie das vertraute Rechnen mit Zahlen.
• Inklusive und mehrsprachige Klassenzimmer: Eine mathematische Praxis, die völlig unabhängig von der Schreibung der gesprochenen Sprache funktioniert, ist ein universelles Werkzeug. In heutigen, sprachlich heterogenen Klassen ist dieser Gedanke extrem wertvoll. Mathematik kann als die gemeinsame Ebene vermittelt werden, auf der alle unabhängig von ihrer Erstsprache logisch und strukturell kommunizieren können.
• Notationen als handelnde Werkzeuge: In der westlichen Tradition wirken Formeln oft wie fertige, unumstößliche textliche Aussagen. In der von Chemla untersuchten Tradition sind Notationen oft Algorithmen – sie fordern zur Handlung auf, wie ein Bauplan. Wenn wir Schülern beibringen, Formeln als aktive „Bedienungsanleitungen“ für Rechenschritte zu begreifen, werden diese zu handelnden Werkzeugen statt zu passiven Fakten, die man auswendig lernen muss.

Karine Chemlas Vortrag zeigt eindrucksvoll: Wenn wir die eurozentrische Brille abnehmen und die Vielfalt der historischen mathematischen Praktiken anerkennen, verstehen wir nicht nur unsere Vergangenheit besser – wir gewinnen auch wertvolle Werkzeuge für die Bildung der Zukunft.