András Bátkai's Weblog

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I. Einleitung: Das soziale Fundament der Mathematik

Die Mathematik, oft als abstrakte Wissenschaft wahrgenommen, ist tief in sozialen Prozessen verwurzelt. Sie wird von Menschen geschaffen, durch menschliche Interaktion entwickelt und dient den Bedürfnissen der Gesellschaft. Diese Vorlesung beleuchtet die These, dass Mathematik eine soziale Tätigkeit ist, bei der die beteiligten sozialen Strukturen eine entscheidende Rolle spielen. Wie immer, werden hier nur beispielhaft einige Aspekte angesprochen.

II. Institutionelle Verankerung und globale Vernetzung: Der Internationale Mathematikerkongress (IMC)

Der Internationale Mathematikerkongress (IMC) repräsentiert das wichtigste globale Forum für Mathematikerinnen und Mathematiker und findet alle vier Jahre statt. Er dient der Präsentation neuester Forschungsergebnisse, dem Austausch von Ideen und der Verleihung bedeutender Auszeichnungen.

Historische Entwicklung und Austragungsorte:

Der erste IMC wurde 1897 in Zürich, Schweiz, abgehalten. Ein besonders prägendes Ereignis war der Kongress im Jahr 1900 in Paris, Frankreich, auf dem David Hilbert seine berühmten Probleme vorstellte. Die Chronologie der Kongresse verdeutlicht die internationale Ausrichtung der Mathematik:

• 1897: Zürich, Schweiz
• 1900: Paris, Frankreich
• 1904: Heidelberg, Deutschland
• 1908: Rom, Italien
• 1912: Cambridge, Großbritannien
• 1920: Straßburg, Frankreich
• 1924: Toronto, Kanada
• 1928: Bologna, Italien
• 1932: Zürich, Schweiz
• 1936: Oslo, Norwegen
• 1950: Cambridge, Massachusetts, USA
• 1954: Amsterdam, Niederlande
• 1958: Edinburgh, Großbritannien
• 1962: Stockholm, Schweden
• 1966: Moskau, UdSSR
• 1970: Nizza, Frankreich
• 1974: Vancouver, Kanada
• 1978: Helsinki, Finnland
• 1982 (1983 abgehalten): Warschau, Polen
• 1986: Berkeley (Kalifornien), USA
• 1990: Kyōto, Japan
• 1994: Zürich, Schweiz
• 1998: Berlin, Deutschland
• 2002: Peking, VR China
• 2006: Madrid, Spanien
• 2010: Hyderabad, Indien
• 2014: Seoul, Rep. Korea
• 2018: Rio de Janeiro, Brasilien
• 2022: Helsinki, Finnland (online) statt Sankt Petersburg, Russland

Der jüngste Kongress im Jahr 2022, ursprünglich in Sankt Petersburg geplant, fand aufgrund der politischen Situation online statt.

Struktur des Kongresses:

Der IMC umfasst Hauptvorträge, deren Referenten von einem Komitee aufgrund ihrer herausragenden Forschungsergebnisse der letzten vier Jahre ausgewählt werden. Darüber hinaus präsentieren führende Wissenschaftler ihre Arbeiten in verschiedenen Sektionen, wobei prinzipiell jeder Teilnehmer die Möglichkeit zur Einbringung hat. Im Rahmen des Kongresses werden auch bedeutende mathematische Preise verliehen.

III. Die Hilbertschen Probleme: Meilensteine der mathematischen Forschung

Der Internationale Mathematikerkongress des Jahres 1900 in Paris ist untrennbar mit David Hilbert (1862–1943) verbunden. Er war ein prägender Mathematiker seiner Zeit, der sich durch eine tiefgründige Denkweise auszeichnete und durch die Axiomatisierung der Geometrie Berühmtheit erlangte. In seinem Vortrag präsentierte Hilbert nicht nur einen Überblick über die Geometrie, sondern stellte stattdessen 23 ungelöste Probleme vor, die er als wegweisend für die zukünftige Entwicklung der Mathematik im 20. Jahrhundert erachtete. Diese Probleme, obwohl nicht alle im Vortrag detailliert präsentiert, wurden später in einem Sammelband ausführlich veröffentlicht und übten einen immensen Einfluss auf die Forschung aus. Einige dieser Probleme wurden inzwischen gelöst, andere sind bis heute ungelöst, und manche bedurften einer Neuformulierung ihrer Fragestellung.

Im Folgenden werden exemplarisch einige dieser Probleme näher erläutert, die einen Bezug zu grundlegenden mathematischen Konzepten aufweisen:

1. Hilberts erstes Problem: Die Kontinuumshypothese

Die Fragestellung lautet: „Gibt es eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die reellen Zahlen?“

Es ist bekannt, dass sowohl die Menge der natürlichen Zahlen (N) als auch die Menge der reellen Zahlen (R) unendlich sind. Mengen können als abzählbar (z.B. rationale Zahlen, algebraische Zahlen) oder überabzählbar (z.B. reelle Zahlen) klassifiziert werden. Georg Cantor bewies, dass die Potenzmenge einer beliebigen Menge stets eine höhere Mächtigkeit besitzt als die Menge selbst.

Die Kontinuumshypothese (CH) besagt, dass jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen die gleiche Mächtigkeit wie die reellen Zahlen selbst besitzt; es gibt also keine Kardinalzahl zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen (ℵ₀​) und der Mächtigkeit des Kontinuums (c). Dies wird oft als c=ℵ_1​ formuliert.

Kurt Gödel (1906–1978), ein aus Österreich stammender Mathematiker, konnte 1939 zeigen, dass die Kontinuumshypothese zum Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem mit Auswahlaxiom (ZFC) relativ widerspruchsfrei ist. Paul Cohen (1934–2007) demonstrierte 1963, dass auch die Negation der Kontinuumshypothese relativ widerspruchsfrei zu ZFC ist. Dies impliziert, dass die Kontinuumshypothese unabhängig vom klassischen Axiomensystem ZFC ist und daher weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Die Situation ist analog zum 5. Postulat in der Euklidischen Geometrie. Sie kann bei Bedarf als neues Axiom hinzugefügt werden.

2. Hilberts zweites Problem: Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome

Die Fragestellung dieses Problems lautet: „Sind die arithmetischen Axiome widerspruchsfrei?“

Die Beantwortung dieser Frage ist nach Kurt Gödels berühmten Unvollständigkeitssatz nicht innerhalb des Systems der arithmetischen Axiome möglich. Gödels Ergebnisse erschütterten den Glauben an die vollständige Beweisbarkeit aller mathematischen Aussagen innerhalb eines gegebenen Axiomensystems.

3. Hilberts drittes Problem: Zerlegungsgleichheit von Tetraedern

Die Fragestellung dieses Problems lautet: „Sind zwei beliebige Tetraeder mit gleichen Grundflächen und gleichen Höhen stets zerlegungsgleich oder lassen sie sich mit kongruenten Polyedern zu zerlegungsgleichen Körpern ergänzen?“

Zwei Körper werden als zerlegungsgleich bezeichnet, wenn der eine durch eine endliche Zerlegung in Teile so transformiert werden kann, dass diese Teile den zweiten Körper bilden. Während dies in der zweidimensionalen Ebene für Polygone mit gleichem Flächeninhalt stets zutrifft (Satz von Bolyai-Gerwien), ist die Situation im dreidimensionalen Raum komplexer. Max Dehn (1878–1952), ein Schüler Hilberts, konnte diese Frage bereits im Jahr 1900 mit „Nein“ beantworten. Seine Arbeit zeigte, dass es in der dreidimensionalen Geometrie fundamentale Unterschiede zur ebenen Geometrie gibt. 

4. Hilberts fünftes Problem: Lie-Gruppen

Die Fragestellung dieses Problems lautet: „Ist eine lokal euklidische, topologische Gruppe eine Lie-Gruppe, bei der also die Gruppenoperationen auch differenzierbar sind?“

Dieses Problem befasste sich mit der Frage, ob topologische Gruppen, die lokal wie der euklidische Raum aussehen, automatisch auch differenzierbar sind. Die Lösung dieses Problems zog sich über 50 Jahre hinweg und erforderte die Entwicklung „schwerer Kanonen“ in der Mathematik, die die Theorie maßgeblich vorantrieben. Spezialfälle wurden von John von Neumann (1903–1957) 1933, Lew Pontrjagin (1908–1988) 1939 und Claude Chevalley (1909–1984) 1941 gelöst. Die endgültige Klärung gelang Andrew Gleason (1921–2008), Deane Montgomery (1909–1992) und Leo Zippin (1905–1995) in den 1950er Jahren, die bewiesen, dass lokal euklidische topologische Gruppen sogar reell-analytisch sind.

5. Hilberts siebtes Problem: Transzendente Zahlen

Die Fragestellung lautet: „Ist die Potenz αβ immer transzendent, wenn α algebraisch (α=0,α=1) und β irrational und algebraisch ist?“.

Zur Klärung der Begriffe: Eine algebraische Zahl ist eine Zahl, die Nullstelle eines nicht-trivialen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist (z.B. oder ​). Eine transzendente Zahl hingegen ist nicht algebraisch (z.B. π oder e). Ein wichtiges Ergebnis des 19. Jahrhunderts war, dass die überwiegende Mehrheit der reellen Zahlen transzendent ist, da die algebraischen Zahlen abzählbar sind, die reellen Zahlen jedoch nicht.

Hilberts siebtes Problem wurde in den 1930er Jahren durch den Satz von Gelfond-Schneider gelöst. Dieser Satz besagt, dass für algebraische Zahlen α (mit α=0,1) und eine darüber hinaus nicht rationale algebraische Zahl β, die Potenz αβ transzendent ist. Dies beantwortet Hilberts Problem affirmativ.

IV. Auszeichnungen in der Mathematik: Anerkennung und Förderung

Die Mathematik würdigt herausragende Leistungen durch verschiedene Preise, die die internationale Gemeinschaft zusammenbringen.

1. Die Fields-Medaille:

Die Fields-Medaille, offiziell „International Medal for Outstanding Discoveries in Mathematics“, ist eine der angesehensten Auszeichnungen für Mathematiker. Sie wurde 1920 von dem kanadischen Mathematiker John Charles Fields (1864–1932) ins Leben gerufen. Seit 1950 wird sie alle vier Jahre von der Internationalen Mathematischen Union (IMU) im Rahmen des IMC an Mathematiker unter 40 Jahren verliehen. Das Preisgeld beträgt 15.000 Kanadische Dollar.

Die Altersgrenze spiegelt zum Teil das populäre Vorurteil wider, das G. H. Hardy (1877–1947), ein einflussreicher Mathematiker, in seinem Zitat „No mathematician should ever allow himself to forget that mathematics, more than any other art or science, is a young man’s game“ zum Ausdruck brachte. Obwohl viele historische Mathematiker jung verstarben (z.B. Bernhard Riemann (1826–1866) mit 40 Jahren an Tuberkulose), widerlegen zahlreiche Beispiele aus dem 20. und 21. Jahrhundert dieses Vorurteil, da auch ältere Mathematiker:innen bedeutende und revolutionäre Entdeckungen machten.

Österreich kann einen Fields-Medaillenträger vorweisen: Martin Hairer (geboren 1975 in Genf). Seine Eltern stammen aus Innsbruck, und er ist Professor für Mathematik am Imperial College London. 

Die Fields-Medaille wurde 2014 erstmals an eine Frau verliehen: Maryam Mirzakhani (1977–2017) aus dem Iran. Sie verstarb tragischerweise drei Jahre später im Alter von 40 Jahren an Brustkrebs. Ihre komplexen Beiträge zur Mathematik, insbesondere in der Geometrie und Algebra, sind selbst für Fachmathematiker:innen schwer verständlich. Eine weitere weibliche Preisträgerin ist Maryna Viazovska (geboren 1984 in der Ukraine), die 2022 für ihre Arbeiten im Bereich der Geometrie ausgezeichnet wurde, insbesondere für die Lösung des Problems der dichtesten Kugelpackungen in Dimension 8 und 24 .

2. Der Abelpreis:

Der Abelpreis ist eine international anerkannte Auszeichnung für herausragende wissenschaftliche Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik. Er wird seit 2003 jährlich von der Norwegischen Akademie der Wissenschaften verliehen und ist mit einem Preisgeld von 6 Millionen Norwegischen Kronen (ca. 700.000 Euro) dotiert. Im Gegensatz zur Fields-Medaille gibt es beim Abelpreis keine Altersbeschränkung.

Eine verbreitete Legende besagt, dass Alfred Nobel (1833–1896) keinen Mathematikpreis stiftete, weil der schwedische Mathematiker Gösta Mittag-Leffler (1846–1927) eine Affäre mit Nobels Frau gehabt haben soll. Diese Legende ist jedoch höchstwahrscheinlich unzutreffend. Der wahre Grund liegt mutmaßlich in Nobels Philanthropie: Als Erfinder des Dynamits wollte er sein Vermögen für Verdienste um die Menschheit einsetzen. Er sah die Mathematik wohl nicht unmittelbar als eine Disziplin an, die „Nützliches für die Menschheit“ schafft.

Die erste Frau, die den Abelpreis erhielt, war Karen Uhlenbeck (geboren 1942) im Jahr 2019, für ihre Pionierleistungen bei geometrischen partiellen Differentialgleichungen, Eichtheorie und integrablen Systemen. Der Abel-Laureat des Jahres 2025 ist der japanische Mathematiker Masaki Kashiwara (geboren 1947), der für seine Beiträge zu abstrakten mathematischen Gebieten, insbesondere in der algebraischen Analysis, ausgezeichnet wurde.

V. Mathematische Vereinigungen und ihre Rolle

Die Mathematik als soziale Tätigkeit manifestiert sich auch in der Existenz zahlreicher nationaler und internationaler Fachgesellschaften:

1. Internationale Mathematische Union (IMU):

Als internationale Nichtregierungsorganisation fördert die IMU (gegründet 1920) die Zusammenarbeit im Bereich der Mathematik weltweit. Sie ist die Dachorganisation für mathematische Gesellschaften in rund 90 Ländern und federführend bei der Organisation des IMC sowie der Vergabe der Fields-Medaillen und des Abelpreises.

2. European Mathematical Society (EMS):

Die 1990 gegründete Europäische Mathematische Gesellschaft (EMS) setzt sich für die Förderung aller Aspekte der Mathematik in Europa ein. Sie veranstaltet alle vier Jahre den Europäischen Mathematikerkongress (ECM), bei dem auch die EMS-Preise und der Felix-Klein-Preis der EMS verliehen werden.

3. Österreichische Mathematische Gesellschaft (ÖMG):

Die Österreichische Mathematische Gesellschaft (ÖMG) wurde 1903 von Ludwig Boltzmann (1844–1906), Gustav von Escherich (1849–1935) und Emil Müller (1861–1927) gegründet und ist die berufsständische Vertretung der Mathematikerinnen und Mathematiker in Österreich. Für Lehramtsstudierende ist die ÖMG besonders relevant, da sie eine Didaktikkommission unterhält, die regelmäßig Stellungnahmen zu aktuellen Lehrplanthemen veröffentlicht und bei der Begutachtung neuer Lehrpläne konsultiert wird. Sie gibt zudem den „Mathe-Brief“ heraus, ein monatliches Informationsmedium für Mathematiklehrer. Eine Mitgliedschaft in der ÖMG, die für Studierende ermäßigt und für Nicht-Studierende etwa 30-35 Euro pro Jahr beträgt, bietet einen Einblick in die aktuellen Entwicklungen der österreichischen Mathematikszene. Die ÖMG organisiert auch jährliche Jahrestagungen, die stets einen „Lehrer:innentag“ beinhalten. So fand beispielsweise die Jahrestagung 2019 in Vorarlberg statt, verbunden mit einem speziellen Lehrer:innentag.

4. Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM):

Die Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM) ist eine 1975 in Saarbrücken gegründete wissenschaftliche Vereinigung, die die Didaktik der Mathematik im deutschsprachigen Raum fördert. Sie verfügt über einen Arbeitskreis für Österreich, der sich spezifisch mit der Verbesserung des Mathematikunterrichts und der Qualitätssicherung der Mathematikdidaktik in Österreich befasst. Für Lehramtsstudierende, die eine Vertiefung in der Didaktik anstreben, ist eine Mitgliedschaft in der GDM aufgrund ihrer Spezialisierung empfehlenswert.

VI. Berufsbilder für Mathematikerinnen und Mathematiker

Die Frage nach den Berufsaussichten für Absolventen eines Mathematikstudiums ist von großer Relevanz, auch für Lehramtsstudierende. Entgegen der landläufigen Meinung sind Mathematikerinnen und Mathematiker auf dem Arbeitsmarkt sehr gefragt.

Der Mehrwert eines Mathematikstudiums liegt nicht primär im spezifischen Fachwissen für einen bestimmten Beruf, sondern in der Entwicklung logischen und kritischen Denkens. Die Fähigkeit, komplexe mathematische Probleme zu durchdringen, wird als Indikator für eine hohe Lernfähigkeit und Anpassungsfähigkeit an neue, auch fachfremde Inhalte angesehen.

Ein Beispiel aus der Praxis ist eine Matehmatikerin, die nach ihrem sehr abstrakten Mathematikstudium bei einer Bank in Frankfurt im Bereich des Portfoliomanagements eingesetzt wurde. Unternehmen bevorzugen oft Mathematiker, da sie aufgrund ihrer methodischen Ausbildung firmenspezifisches Wissen (z.B. im Finanzbereich) effektiver erlernen können als Absolventen, deren Fachwissen möglicherweise bereits bei Studienabschluss veraltet ist.

Der österreichische Arbeitsmarkt weist eine hohe Nachfrage auf; aktuell sind über 150 Stellen für Mathematiker ausgeschrieben. Beispiele für Berufsfelder sind (Arbeitgeber können wegen DAtenschutz nicht gelistet werden):

Spieleentwicklung, Energiewirtschaft, Consulting, Logistiksysteme, Wirtschaftsprüfung, Finanzrisikomanagement.

Es ist bemerkenswert, dass Lehramtsabsolventen in Mathematik manchmal sogar bevorzugt werden, da ihnen oft eine überdurchschnittliche Kommunikationsfähigkeit zugeschrieben wird, die für die Kommunikation mit Mitarbeitern und die Einarbeitung neuer Kollegen von Vorteil ist. Dieses Vorurteil, auch wenn es nicht immer begründet ist, kann die Berufschancen positiv beeinflussen. Die regionale Joblage in Vorarlberg ist allerdings weniger vielfältig als in größeren Zentren.

VII. Mathematikwettbewerbe: Förderung des Talents und Teamgeists

Mathematikwettbewerbe sind eine wichtige soziale Aktivität, die auf verschiedenen Ebenen mathematisches Talent und Engagement fördern:

1. Internationale Mathematik-Olympiade (IMO):

Die IMO ist die Mathematik-Weltmeisterschaft für Schülerinnen und Schüler, die jährlich stattfindet. Jedes teilnehmende Land erhält ein Kontingent an Startplätzen und führt einen nationalen Auswahlprozess durch, um die besten Kandidaten zu ermitteln.

2. Österreichische Mathematik-Olympiade (ÖMO):

Die ÖMO dient als nationaler Qualifikationswettbewerb für die IMO. Sie wird in den Schulen organisiert und umfasst eine Schulrunde sowie eine Landesrunde, die in Vorarlberg beispielsweise in Bregenz stattfindet. Für interessierte Schülerinnen und Schüler werden spezielle Vorbereitungskurse angeboten, unter anderem in Dornbirn und Feldkirch.

3. Känguru der Mathematik:

Dieser Wettbewerb erfreut sich großer Beliebtheit und ist besonders breit aufgestellt, da er auch für jüngere Kinder konzipiert ist. Im Gegensatz zur ÖMO, die wenige, sehr anspruchsvolle Aufgaben stellt, bietet der Känguru-Wettbewerb eine Vielzahl relativ einfacher Aufgaben, die logisches Denken erfordern. Seine Popularität beruht darauf, dass er vielen Teilnehmenden Erfolgserlebnisse ermöglicht. Eine Besonderheit des Känguru-Wettbewerbs ist der Abzug von Punkten für falsche Antworten, was dazu anregt, wohlüberlegte Entscheidungen zu treffen. Erfolgsbeispiele aus Österreich zeigen, dass Schülerinnen und Schüler aus Vorarlberg mit Höchstpunktzahlen landesweit vordere Plätze belegten.

4. Teamwettbewerbe (Bolyai und Náboj):

In den letzten Jahren haben Teamwettbewerbe zunehmend an Attraktivität gewonnen. Ihre Stärke liegt in der Förderung der Teamarbeit und der Möglichkeit, sich gegenseitig zu unterstützen. Ein herausragendes Beispiel ist der „Internationale Mathematik Teamwettbewerb Bolyai„, bei dem im letzten Jahr eine Gruppe aus Feldkirch (Gymnasium Schillerstraße) den österreichweiten Wettbewerb gewann. Ein weiterer spannender Teamwettbewerb ist der Náboj-Wettbewerb, der ein besonderes Format aufweist. Im März 2025 nahmen beispielsweise 13 Vorarlberger Teams an diesem Wettbewerb in Innsbruck teil.

VIII. Schlussfolgerung

Die Betrachtung der Mathematik als soziale Tätigkeit offenbart ihre vielfältigen Verknüpfungen mit gesellschaftlichen Strukturen, von internationalen Kongressen über Fachgesellschaften bis hin zu Karrierewegen und Wettbewerben. Diese sozialen Dimensionen sind essenziell für die Entwicklung und Vermittlung der Mathematik.